Спектральная плотность мощности. Спектральная плотность сигналов Смотреть что такое "Спектральная плотность мощности" в других словарях

Под энергией сигнала иЦ) понимают величину

Если сигнал имеет конечную длительность Т, т.е. не равен нулю на отрезке времени [-Т/ 2, Т/ 2], то его энергия

Запишем выражение для энергии сигнала, используя формулу (2.15):

где

Полученное равенство называется равенством Парсеваля. Оно определяет энергию сигнала через временную функцию или спектральную плотность энергии, которая равна |5(/0))| 2 . Спектральная плотность энергии называется также энергетическим спектром.

Рассмотрим сигнал, существующий на ограниченном интервале времени. К такому сигналу применимо равенство Парсеваля. Следовательно,

Разделим левую и правую части равенства на интервал времени, равный Г, и устремим этот интервал к бесконечности:

С увеличением Т энергия незатухающих сигналов возрастает,

однако отношение может стремиться к определенному пределу. Этот предел называется спектральной плотностью мощности С(со). Размерность спектральной плотности мощности: [В 2 Дц].

Автокорреляционная функция

Автокорреляционная функция сигнала и (?) определяется следующим интегральным выражением:

где т - аргумент, определяющий функцию Я(х) и имеющий размерность времени; и(? + т) - исходный сигнал, сдвинутый во времени на величину -т.

Автокорреляционная функция имеет следующие свойства.

1. Значение автокорреляционной функции при сдвиге т = О равно энергии сигнала Е:

2. Автокорреляционная функция при сдвигах т Ф 0 меньше энергии сигнала:

3. Автокорреляционная функция является четной функцией, т.е.

В справедливости свойств 2 и 3 убедимся на примере.

Пример 2.6. Вычислить автокорреляционные функции сигналов: видеосигнала, представленного на рис. 2.7, я, и радиосигнала с теми же амплитудой и длительностью. Несущая частота радиосигнала равна щ, а начальная фаза равна 0.

Решение. Первую задачу решим графическим способом. Автокорреляционная функция определяется интегралом от произведения функции и (?) и ее смещенной во времени копии. Смещение видеосигнала найдем из уравнения? + т = 0. График функции м(? + т) приведен на рис. 2.7, б. Площадь, определяемая графиком произведения м(?)м(? + т) (рис. 2.7, в), равна

Функция Д(т) определяется уравнением прямой (рис. 2.7, г). Функция имеет максимум, если значение аргумента т = 0, и равна 0, если т = т и. Для других значений аргумента /?(т)

Чтобы убедиться в справедливости свойства 3, аналогично вычислим функцию для отрицательных значений т:

Рис. 2.7.

видеоимпульса:

а - прямоугольный видеоимпульс; б - задержанный во времени прямоугольный импульс; в - произведение импульсов; г - автокорреляционная функция

Окончательное выражение для автокорреляционной функции

Функция приведена на рис. 2.7, г и имеет треугольный вид.

Вычислим автокорреляционную функцию радиосигнала, расположив его симметрично относительно вертикальной оси. Радиосигнал:

Подставляя значения сигнала и его сдвинутой копии в формулу для автокорреляционной функции /?(т), получим

Выражение для автокорреляционной функции радиоимпульса состоит из двух слагаемых. Первое из них определяется произведением треугольной функции и гармонического сигнала. На выходе согласованного фильтра это слагаемое реализуется в виде ромбовидного радиоимпульса. Второе слагаемое определяется произведением треугольной функции и функций (втд^/лг, расположенных в точках т = +т и. Значения функций (втх)/:*:, которые оказывают заметное влияние на второе слагаемое автокорреляционной функции, весьма быстро убывают при изменении аргумента т от -т и до оо и от т и до -°о. Решив уравнение

можно найти интервалы задержки, в пределах которых значения функций (втлс)/;*; еще влияют на поведение функции /?(т). Для положительных значений задержки

где 7о - период гармонического сигнала.

Аналогично находится интервал для отрицательных значений задержки.

Поскольку влияние второго слагаемого автокорреляционной функции ограничивается весьма малыми (по сравнению с длительностью радиоимпульсов т и) интервалами 7о/2, в пределах которых значения треугольной функции весьма малы, то вторым слагаемым автокорреляционной функции радиоимпульса можно пренебречь.

Выявим связь автокорреляционной функции #(т) со спектральной плотностью энергии сигнала |5(/со)| 2 . Для этого выразим сдвинутый во времени сигнал и(1ь + т) через его спектральную плотность 5(/со):

Подставим данное выражение в выражение (2.21). В результате получим

Нетрудно убедиться также в справедливости равенства

Разделим обе части равенства (2.23) на интервал времени Т и устремим величину Т к бесконечности:

С учетом формулы (2.20) перепишем полученное выражение:

где
- предел отношения автокорреляционной функции ограниченного во времени сигнала к значению этого времени и при стремлении его к бесконечности. Если этот предел существует, то он определяется обратным преобразованием Фурье от спектральной плотности мощности сигнала.

Обобщением понятия «автокорреляционная функция» является взаимно корреляционная функция, которая представляет собой скалярное произведение двух сигналов:

Рассмотрим основные свойства взаимно корреляционной функции.

1. Перестановка сомножителей под знаком интеграла изменяет знак аргумента взаимно корреляционной функции:

В приведенных преобразованиях использована замена t + т = х.

• 2. Взаимно корреляционная функция, в отличие от автокорреляционной функции, не является четной относительно аргумента т.
• 3. Взаимно корреляционная функция определяется обратным преобразованием Фурье от произведения спектральных плотностей сигналов u(t), v(t) :

Эта формула может быть выведена аналогично формуле (2.22).

Взаимно корреляционная функция между периодически повторяющимся сигналом и непериодическим

сигналом v(t ) = Uq(?)

где R(t) - автокорреляционная функция непериодического сигнала u 0 (t).

Полученное выражение равно сумме двух интегралов. При сдвиге, равном нулю, первый интеграл равен нулю, а второй равен энергии сигнала. При сдвиге, равном периоду сигнала, первый интеграл равен энергии сигнала, а второй равен нулю. Каждое значение функции при других сдвигах равно сумме значений автокорреляционных функций непериодического сигнала, смещенных относительно друг друга на один период. Кроме того, взаимно корреляционная функция является периодической функцией, удовлетворяющей уравнению

Взаимно корреляционная функция Я ил> (т) между сигналом u(t ) и сигналом

равна - длительность сигнала v(t).

Действительно, вследствие того что период сигнала u(t ) равен Т и

взаимно корреляционная функция где

Вычисляя предел функции (2п + 1)7? м Мо (т) при п -> определим выражение для автокорреляционной функции периодического сигнала:

Размерность функции: [В 2 /Гц].

Значения функции при нулевом сдвиге и других сдвигах, для которых Лц Мо (т) Ф 0, равны бесконечности. По этой причине использование последнего выражения в качестве характеристики периодического сигнала теряет смысл.

Разделим последнее выражение на интервал, равный (2п + 1 )Т. В результате получим функцию

так как вследствие периодичности функции - т + Т) = - т).

Полученная формула определяет функцию В(т) как предел отношения автокорреляционной функции сигнала, существующего в интервале времени (2п + 1 )Т, к этому интервалу и стремлении его к бесконечности. Этот предел для периодически повторяющегося сигнала называется автокорреляционной функцией периодического сигнала. Размерность этой функции: [В 2 ].

Прямое преобразование Фурье одного периода автокорреляционной функции периодического сигнала определяет спектральную плотность мощности, которая является непрерывной функцией частоты. По этой плотности, используя формулу (2.17), можно найти спектральную плотность мощности периодической автокорреляционной функции сигнала , которая определяется для дискретных значений частот:

где 0)1 = 2п/Т.

Если автокорреляционная функция записана в виде ряда Фурье в тригонометрической форме, то выражение для ее спектральной плотности

Пример 2.7. Вычислить периодическую автокорреляционную функцию сигнала и(ф) = А бш СИ. По найденной функции, ограниченной одним периодом, определить спектральную плотность мощности.

Решение. Подставляя в выражение (2.26) заданный сигнал, получим выражение для периодической автокорреляционной функции:

Полученное выражение подставим в формулу (2.24) и найдем спектральную плотность мощности:

Пример 2.8. Для периодической нормированной автокорреляционной функции шумоподобного сигнала (М-последовательности с периодом N = 1023) вычислить спектральную плотность мощности. (Периодическая функция для последовательности меньшей длины (IV= 15) приведена на рис. 3.39.)

Решение. Для сравнительно большого периода ЛГ = 1023 значения автокорреляционной функции в интервале Т - То > т > То, где То - длительность импульса шумоподобной последовательности, примем равными нулю. В этом случае автокорреляционная функция определяется периодически повторяющейся с периодом Т последовательностью треугольных импульсов. Основание каждого треугольника равно 2то, а его высота равна 1. Уравнение, определяющее автокорреляционную функцию в пределах одного периода, равно В(т) = 1 - |т|/хо- Учитывая четность этой функции, определим коэффициенты ряда Фурье:

При вычислении интеграла использована формула

Подставляя вычисленные коэффициенты в формулу (2.27), ползшим

Спектральная плотность мощности периодической автокорреляционной функции равна взвешенной сумме бесконечно большого числа дельтафункций. Весовые множители определяются квадратом функции (этх)/:»:, умноженной на постоянный коэффициент 2я(то/Т).

Корреляционные функции цифровых сигналов связаны с корреляционными функциями последовательностей символов. Для кодовой последовательности (см. § 1.3) конечного числа N

двоичных символов автокорреляционная функция записывается в виде

где - двоичные символы, равные 0 или 1, или символы, равные -1, 1; д = О, 1, 2, ..., N - .

Последовательности символов могут быть как детерминированными, так и случайными. При передаче информации характерным свойством последовательности символов является их случайность. Значения автокорреляционной функции (при сдвигах, нс равных нулю), вычисленные по заранее записанной случайной последовательности конечной длины, также являются случайными.

Автокорреляционные функции детерминированных последовательностей, которые используются для синхронизации, а также в качестве носителей дискретных сообщений, являются детерминированными функциями.

Сигналы, построенные с использованием кодов или их кодовых последовательностей, называются кодированными сигналами.

Большинство свойств автокорреляционной функции кодовой последовательности совпадает с рассмотренными выше свойствами автокорреляционной функции сигнала.

При пулевом сдвиге автокорреляционная функция кодовой последовательности достигает максимума, который равен

Если символы равны -1, 1, то г(0) = N.

Значения автокорреляционной функции при других сдвигах меньше г(0).

Автокорреляционная функция кодовой последовательности является четной функцией.

Обобщением автокорреляционной функции является взаимно корреляционная функция. Для кодовых последовательностей одинаковой длины эта функция

где 2 } 0 6/, - символы соответственно первой и второй последовательности.

Многие свойства функции г 12 (д) совпадают со свойствами взаимно корреляционной функции рассмотренных выше сигналов. Если функция г^(д), I Ф для любой пары кода при сдвиге д = О равна нулю, то такие коды называются ортогональными. Краткое описание некоторых используемых в системах связи кодов приведено в приложениях 2-4.

Взаимно корреляционная функция между кодовой последовательностью и периодически повторяющейся той же последовательностью называется периодической автокорреляционной функцией кодовой последовательности. Выражение для функции следует из выражений (2.25), (2.26):

где г(д) - непериодическая автокорреляционная функция кодовой последовательности; д - значение сдвига между последовательностями.

Подставим в полученную формулу выражения автокорреляционных функций:

где а/г, а^+ц - элементы кодовой последовательности.

Периодическая автокорреляционная функция кодовой последовательности равна взаимно корреляционной функции, вычисленной для кодовой последовательности и циклически сдвинутых символов этой последовательности. Циклически сдвинутые кодовые последовательности, полученные по исходной последовательности а 0 = а 0 ,а { ,а 2 , ..., а м _ ь приведены ниже. Кодовая последовательность а { получена в результате сдвига исходной последовательности а 0 па один символ вправо и переноса последнего символа а дм в начало сдвинутой последовательности. Остальные последовательности получены аналогично:

Пример 2.9. Вычислить автокорреляционную и периодическую автокорреляционную функцию кодированного сигнала (рис. 2.8, а)

где и 0 (О - прямоугольный импульс с амплитудой А и длительностью т и.

Этот сигнал построен из прямоугольных импульсов, знак которых определяется весовыми коэффициентами: а 0 = ,а. = 1, а 2 = -1, а их число N = 3. Длительность сигнала равна Зт и.

Решение. Подставляя выражение для сигнала в формулу (2.21), получим

Произведем замену переменной t - кт н на х:

Обозначим: & - т = - и заменим дискретные переменные &, т на переменные к, ц. В результате получим

График автокорреляционной функции для заданного сигнала показан на рис. 2.8, б. Эта функция зависит от автокорреляционной функции /? 0 (т) прямоугольного импульса и значений автокорреляционной функции г(

Рис. 2.8. Автокорреляционная функция кодированного сигнала: а - кодированный сигнал; 6 - автокорреляционная функция сигнала; в - автокорреляционная функция периодического сигнала

Вычислим периодическую автокорреляционную функцию, используя рассчитанную выше автокорреляционную функцию, полученные значения автокорреляционной функции кодовой последовательности и формулу (2.28).

Периодическая автокорреляционная функция

Подставим заданное значение N = 3 в полученную формулу:

С учетом значений автокорреляционной функции кодовой последовательности К+З) = 0, г(+ 2) = -1, г(+1) = О, КО) = 3 запишем окончательное выражение для одного периода периодической автокорреляционной функции сигнала:

График функции приведен на рис. 2.8, в.

Оценка спектральной плотности мощности представляет известную проблему для случайных процессов. Примерами случайных процессов может служить шум, а также сигналы, несущие информацию. Обычно требуется найти статистически устойчивую оценку. Анализ сигналов подробно рассматривается в курсе «Цифровая обработка сигналов» . Начальные сведения изложены в .

Для сигналов с известными статистическими характеристиками спектральный состав может быть определен по конечному интервалу этого сигнала. При неизвестности статистических характеристик сигнала по отрезку сигнала можно получить только оценку его спектра. Разные методы использую различные допущения, и поэтому дают различные оценки.

При выборе оценки исходят из того, что в общем случае анализируемый сигнал представляет собой случайный процесс. И требуется выбрать несмещенную оценку, обладающую малой дисперсией, позволяющую усреднить спектр сигнала. Смещением называют разницу между средним значением оценки и истинным значением величины. Несмещенной оценкой называют оценку с нулевым смещением. Оценка с малой дисперсией хорошо локализует искомые величины, т.е. плотность вероятности сконцентрирована около среднего значения. Желательно иметь состоятельную оценку, т.е. оценку, которая при увеличении размера выборки стремится к истинному значению (смещение и дисперсия стремятся к нулю). Различают оценки параметрические, использующие только информацию о самом сигнале и непараметрические, использующие статистическую модель случайного сигнала, и осуществляющие подбор параметров этой модели.

При оценках случайных процессов распространено использование корреляционных функций.

Для эргодичного процесса возможно определение статистических параметров процесса путем усреднения по одной реализации.

Для стационарного случайного процесса корреляционная функция R x (t) зависит от интервала времени, для которого она определяется. Эта величина характеризует связь между значениями x(t), разделенными промежутком t. Чем медленнее убывает R(t), тем больше промежуток, в течение которого наблюдается статистическая связь между значениями случайного процесса.

где - математическое ожидание x(t).

Соотношение между корреляционной функцией R(t) и спектральной плотностью мощности W(w) для случайного процесса определяется теоремой Винера-Хинчина

Для дискретных процессов теорема Винера-Хинчина устанавливает связь между спектром дискретного случайного процесса W(w) и его корреляционной функции R x (n)

W(w)= R x (n)·exp(-j·w·n·T)

Для оценки энергии сигнала во временной и частотной областях используется равенство Парсеваля

Одним из распространенных способов получения оценки спектральной плотности является применение метода периодограмм.

Периодограмма (Periodogram) .В этом методе производится дискретное преобразование Фурье для сигнала x(n), заданного в дискретных точках выборки длиной N отсчетов и его статистическое усреднение. Фактическое вычисление спектра X(k), выполняется только в конечном количестве частотных точек N. Применяется быстрое преобразование Фурье (FFT). Вычисляется спектральная плотность мощности, приходящаяся на один отсчет выборки:

P xx (X k)=|X(k)| 2 /N, X(k)= , k=0,1,…,N-1.

Для получения статистически устойчивой оценки, имеющиеся данные разбивают на перекрывающиеся выборки, с последующим усреднением спектров, полученных по каждой выборке. Задается число отсчетов на выборку N и сдвиг начала каждой последующей выборки относительно начала предыдущей N t . Чем меньше число отсчетов в выборке, тем больше выборок и меньшая дисперсия у оценок. Но поскольку длина выборки N связана с частотным разрешением (2.4), то уменьшение длины выборки ведет к уменьшению частотного разрешения.

Таким образом, сигнал просматривается через окно, а данные, не попадающие в окно, принимаются равными нулю. Конечный сигнал x(n) состоящий из N отсчетов, обычно представляют как результат умножения бесконечного по времени сигнала (n) на прямоугольное окно с конечной длиной w R (n):

x(n) = (n) ∙w R (n),

а непрерывный спектр X N (f) наблюдаемых сигналов x(n) определится как свертка Фурье-образов X(f), W R (f) бесконечного по времени сигнала (n) ∙и окна w R (n)

X N (f)=X(f)*W R (f)=

Спектр непрерывного прямоугольного окна (rect) имеет форму интегрального синуса sinc(x)=sin(x)/x. Он содержит главный «лепесток» и несколько боковых, из которых самый большой приблизительно на 13 dB ниже основного пика (см. рис.15).

Фурье-образ (спектр) дискретной последовательности, получаемой N-точечной дискретизацией непрерывного прямоугольного окна, показан на рис.32. Он может быть вычислен суммированием смещенных интегральных синусов (2.9), в результате получается ядро Дирихле

Рис. 32. Спектр дискретного прямоугольного окна

В то время как сигнал с бесконечной длиной сконцентрирует его мощность точно в дискретной частоте f k , прямоугольная выборка сигнала имеет распределенный спектр мощности. Чем короче выборка, тем более распределенный спектр.

При спектральном анализе производится взвешивание данных с помощью оконных функций, чем добиваются уменьшения влияния боковых «лепестков» на спектральные оценки.

Чтобы обнаружить две гармоники f 1 и f 2 с близкими частотами, необходимо, чтобы для временного окна T ширина главного «лепестка» Df -3 ≈ Df L =0 =1/Т, определяемая на значении -3дБ, была меньше разности искомых частот

Df=f 1 -f 2 > Df -3

Ширина временного окна Т связана с частотой дискретизацией f s и числом отсчетов выборки формулой (2.4).

Инструментальные средства гармонического анализа . Для исследования сигналов очень удобно применение пакета MATLAB, в частности, его приложения (Toolbox) Signal Processing.

Модифицированные периодограммы используют непрямоугольные оконные функции, уменьшающие эффект Гиббса. Примером может служить использование окна Хэмминга (Hamming). Но при этом одновременно происходит примерно вдвое увеличение ширины главного лепестка спектрограммы. Несколько более оптимизировано окно Кайзера (Kaiser). Увеличение ширины главных лепестков при создании фильтров нижних частот ведет к увеличению переходной полосы (между полосами пропускания и задержания).

Оценочная функция Уэлча (Welch) . Метод состоит из деления последовательных данных времени в сегменты (возможно с перекрытием), далее обрабатывается каждый сегмент, а затем оценивают спектр путем усреднения результатов обработки сегментов. Для улучшения оценки могут использоваться непрямоугольные оконные функции, например окно Хэмминга. Увеличение числа сегментов уменьшает дисперсию, но при этом уменьшается разрешение метода по частоте. Метод дает неплохие результаты при малом превышении полезного сигнала над шумом и достаточно часто используется на практике.

На рис.33 приведены оценки гармонического состава для данных, содержащих узкополосые полезные сигналы и белый шум, при различных выборках (N=100, N=67), и использовании различных методов.

Рис. 33. Оценка гармоник сигнала для 1024 точечного FFT-преобразования

Параметрические методы используют авторегрессионные модели (AR). В методах строятся модели фильтров и с их помощью оценивают спектры сигналов. Все методы при наличии шума в сигнале дают смещенные оценки. Предназначены методы для обработки сигналов имеющих гармонические составляющие на фоне шума. Порядок метода (фильтра) задается в два раза больше, чем число гармоник, присутствующих в сигнале. Предложено несколько параметрических методов .

Метод Берга (Burg) дает высокую разрешающую способность по частоте для коротких выборок. При большом порядке фильтра спектральные пики расщепляются. Положение спектральных пиков зависит от начальных фаз гармонических.

Ковариационный (covariance) метод позволяет оценить спектр сигнала, содержащего сумму гармонических компонентов.

Метод Юла-Уоркера (Yule-Walker) дает хорошие результаты на длинных выборках и не рекомендуется для коротких выборок.

Корреляционные методы . Методы MISIC (Multiple Signal Classification) и EV (eigenvectors) выдают результаты в форме псевдоспектра. В основе методов лежит анализ векторов корреляционной матрицы сигнала. Эти методы дают несколько лучшее разрешение по частоте, чем автокорреляционные методы.

Наиболее важной характеристикой стационарных случайных процессов является спектральная плотность мощности, описывающая распределение мощности шума по частотному спектру. Рассмотрим стационарный случайный процесс, который может быть представлен беспорядочной последовательностью импульсов напряжения или тока, следующих друг за другом через случайные интервалы времени. Процесс со случайной последовательностью импульсов является непериодическим. Тем не менее, можно говорить о спектре такого процесса, понимая в данном случае под спектром распределение мощности по частотам.

Для описания шумов вводят понятие спектральной плотности мощности (СПМ) шума, называемой также в общем случае спектральной плотностью (СП) шума,которая определяется соотношением:

где P (f ) - усредненная по времени мощность шума в полосе частотf на частоте измеренияf .

Как следует из соотношения (2.10), СП шума имеет размерность Вт/Гц. В общем случае СП является функцией частоты. Зависимость СП шума от частоты называют энергетическим спектром , который несет информацию о динамических характеристиках системы.

Если случайный процесс эргодический, то можно находить энергетический спектр такого процесса по его единственной реализации, что широко используется на практике..

При рассмотрении спектральных характеристик стационарного случайного процесса часто оказывается необходимым пользоваться понятием ширины спектра шума. Площадь под кривой энергетического спектра случайного процесса, отнесенную к СП шума на некоторой характерной частоте f 0 , называютэффективной шириной спектра , которая определяется по формуле:

(2.11)

Эту величину можно трактовать как ширину равномерного энергетического спектра случайного процесса в полосе
, эквивалентного по средней мощности рассматриваемому процессу.

Мощность шума P , заключенная в полосе частотf 1 …f 2 , равна

(2.12)

Если СП шума в полосе частот f 1 ...f 2 постоянна и равнаS 0 , тогда для мощности шума в данной полосе частот имеем:
гдеf =f 2 -f 1 – полоса частот, пропускаемая схемой или измерительным прибором.

Важным случаем стационарного случайного процесса является белый шум, для которого спектральная плотность не зависит от частоты в широком диапазоне частот (теоретически – в бесконечном диапазоне частот). Энергетический спектр белого шума в диапазоне частот -∞ < f < +∞ дается выражением:

= 2S 0 = const, (2.13)

Модель белого шума описывает случайный процесс без памяти (без последействия). Белый шумвозникает в системах с большим числом простых однородных элементов и характеризуется распределением амплитуды флуктуаций по нормальному закону. Свойства белого шума определяются статистикой независимых одиночных событий (например, тепловым движением носителей заряда в проводнике или полупроводнике). Вместе с тем истинный белый шум с бесконечной полосой частот не существует, поскольку он имеет бесконечную мощность.

На рис. 2.3. приведена типичная осциллограмма белого шума (зависимость мгновенных значений напряжения от времени) (рис. 2.3а) и функция распределения вероятности мгновенных величин напряжения e ,которая является нормальным распределением (рис. 2.3б). Заштрихованная площадь под кривой соответствует вероятности появления мгновенных величин напряженияe , превышающих значениеe 1 .

Рис. 2.3. Типичная осциллограмма белого шума (а) и функция распределения плотности вероятности мгновенных величин амплитуды напряжения шума (б).

На практике при оценке величины шума какого-либо элемента или п/п прибора обычно измеряют среднеквадратичное шумовое напряжение в единицах В 2 или среднеквадратичный токв единицах А 2 . При этом СП шума выражают в единицах В 2 /Гц или А 2 /Гц, а спектральные плотности флуктуаций напряженияS u (f ) или токаS I (f ) вычисляются по следующим формулам:

(2.14)

где
и – усредненные по времени шумовое напряжение и ток в полосе частотf соответственно. Черта сверху означает усреднение по времени.

В практических задачах при рассмотрении флуктуаций различных физических величин вводят понятие обобщенной спектральной плотности флуктуаций. При этом СП флуктуаций, например, для сопротивления R выражается в единицах Ом 2 /Гц; флуктуации магнитной индукции измеряются в единицах Тл 2 /Гц, а флуктуации частоты автогенератора – в единицах Гц 2 /Гц = Гц.

При сравнении уровней шума в линейных двухполюсниках одного и того же типа удобно пользоваться относительной спектральной плотностью шума, которая определяется как

=
, (2.15)

где u – падение постоянного напряжения на линейном двухполюснике.

Как видно из выражения (2.15), относительная спектральная плотность шума S (f ) выражается в единицах Гц -1 .

Лекция 7.

СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Подразумевая под случайным процессом множество (ансамбль) реализаций, необходимо иметь в виду, что реализациям, обладающим различной формой, соответствуют различные спектральные характеристики. Усреднение комплексной спектральной плотности по всем реализациям приводит к нулевому спектру процесса (при среднем = 0) из-за случайности и независимости фаз спектральных составляющих в различных реализациях. Можно, однако, ввести понятие спектральной плотности среднего квадрата случайной величины, поскольку величина среднего квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник. Если под случайной функцией x(t) подразумевается электрическое напряжение или ток, то средний квадрат этой функции можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую в сопротивлении 1 Ом. Эта мощность распределена по частотам в некоторой полосе, зависящей от механизма образования случайного процесса. Спектральная плотность средней мощности представляет собой среднюю мощность, приходящуюся на 1 Гц при заданной частоте ω . Введенную таким образом спектральную плотность S (ω) в дальнейшем будем называть энергетическим спектром функции x (t ) . Смысл такого названия определяется размерностью функции S (ω) , являющейся отношением мощности к полосе частот:

[S (ω) ] = [ мощность/ полоса частот ] = [мощность×время] = [энергия],

Энергетический спектр можно найти, если известен механизм образования случайного процесса. Здесь же мы ограничимся некоторыми определениями общего характера.

Методы вычисления СПМ

Функции спектральной плотности можно определять тремя различными эквивалентными способами, которые мы рассмотрим ниже:

С помощью ковариационных функций;

С помощью финитного преобразования Фурье;

С помощью фильтрации, возведения в квадрат и усреднения.

Определение спектров с помощью корреляционных функций.

Исторически первый способ определения спектральной плотности появился в математике. Он состоит во взятии преобразования Фурье от предварительно вычисленной корреляционной функции. После вычитания средних значений такие (бесконечные) преобразования Фурье обычно существуют, даже если (бесконечное) преобразование Фурье исходного процесса не существует. Этот подход дает двустороннюю спектральную плотность, определенную для частот f от - до + и обозначаемую S (f ) .

Пусть существуют корреляционные и взаимная корреляционная функции R x (t ), R y (t ) и R xy (t ) . Предположим также, что конечны интегралы от их абсолютных величин

R ( d

На практике эти условия всегда выполняются для реализаций конечной длины. Тогда ПФ функций R (t ) существуют и определяются формулами

S x (f)=

S y (f)=(1)

S xy (f)=

Такие интегралы по конечным реализациям существуют всегда. Функции S x (f ) и S y (f ) называют функциями спектральной плотности процессов x (t ) и y (t ) соответственно или просто спектральными плотностями, а функцию называют взаимной спектральной плотностью двух процессов x (t ) и y (t ) .

Обратные ПФ от формул (1) дают

R x (τ ) =

R y (τ ) = (2)

R xy (τ ) = df .

Соотношения (1) и (2) называют формулами Винера-Хинчина, которые в 30-е годы независимо установили связь между корреляционными функциями и спектральной плотностью через ПФ. При решении практических задач приходится допускать в R (t ) и S (f ) наличие дельта-функций.

Из свойств симметрии стационарных ковариационных функций следует

S x (-f) = S x (f) a S xy (-f) = S yx (f)

Следовательно, спектральная плотность S x (f ) – действительная четная функция, a S xy (f ) – комплексная функция от f .

Тогда спектральные соотношения из (1) можно преобразовать к виду

Взаимная спектральная плотность мощности(взаимный спектр мощности) двух реализаций и стационарных эргодических случайных процессов и определяется как прямое преобразование Фурье над их взаимной ковариационной функцией

или, с учетом соотношения между круговой и циклической частотами ,

Обратное преобразование Фурье связывает взаимные ковариационную функцию и спектральную плотность мощности:

Аналогично (1.32), (1.33) вводится спектральная плотность мощности(спектр мощности) случайного процесса

Функция обладает свойством четности:

Для взаимной спектральной плотности справедливо следующее соотношение:

где – функция, комплексно сопряженная к .

Введенные выше формулы для спектральных плотностей определены как для положительных, так и для отрицательных частот и носят название двухсторонних спектральных плотностей . Они удобны при аналитическом изучении систем и сигналов. На практике же пользуются спектральными плотностями, определенными только для неотрицательных частот и называемыми односторонними (рисунок 1.14):

Рисунок 1.14 – Односторонняя и двусторонняя

спектральные плотности

Выведем выражение, связывающее одностороннюю спектральную плотность стационарного СП с его ковариационной функцией:

Учтем свойство четности для ковариационной функции стационарного СП и функции косинус, свойство нечетности для функции синус, а также симметричность пределов интегрирования. В результате второй интеграл в полученном выше выражении обращается в нуль, а в первом интеграле можно сократить вдвое пределы интегрирования, удвоив при этом коэффициент:

Очевидно, что спектральная плотность мощности случайного процесса является действительной функцией.

Аналогично можно получить обратное соотношение:

Из выражения (1.42) при следует, что

Это означает, что общая площадь под графиком односторонней спектральной плотности равна среднему квадрату случайного процесса. Другими словами, односторонняя спектральная плотность интерпретируется как распределение среднего квадрата процесса по частотам.

Площадь под графиком односторонней плотности, заключенная между двумя произвольными значениями частоты и , равна среднему квадрату процесса в этой полосе частот спектра (рисунок 1.15):

Рисунок 1.15 – Свойство спектральной плотности

Взаимная спектральная плотность мощности является комплексной величиной, поэтому ее можно представить в показательной форме записи через модуль и фазовый угол :

где – модуль;

– фазовый угол;

, – действительная и мнимая части функции соответственно.

Модуль взаимной спектральной плотности входит в важное неравенство

Это неравенство позволяет определить функцию когерентности (квадрат когерентности), которая аналогична квадрату нормированной корреляционной функции:

Второй способ введения спектральных плотностей состоит в непосредственном преобразовании Фурье случайных процессов.

Пусть и – два стационарных эргодических случайных процесса, для которых финитные преобразования Фурье -х реализаций длины определяют в виде

Двусторонняя взаимная спектральная плотность этих случайных процессов вводится с использованием произведения через соотношение

где оператор математического ожидания означает операцию усреднения по индексу .

Расчет двусторонней спектральной плотности случайного процесса осуществляют по соотношению

Аналогично вводятся и односторонние спектральные плотности:

Функции , определенные формулами (1.49), (1.50), идентичны соответствующим функциям, определенным соотношениями (1.32), (1.33) как преобразования Фурье над ковариационными функциями. Это утверждение носит называние теоремы Винера-Хинчина.

Контрольные вопросы

1. Приведите классификацию детерминированных процессов.

2. В чем отличие между полигармоническими и почти периодическими процессами?

3. Сформулируйте определение стационарного случайного процесса.

4. Какой способ усреднения характеристик эргодического случайного процесса предпочтителен – усреднение по ансамблю выборочных функций или усреднение по времени наблюдения одной реализации?

5. Сформулируйте определение плотности распределения вероятности случайного процесса.

6. Запишите выражение, связывающее корреляционную и ковариационную функции стационарного случайного процесса.

7. В каком случае два случайных процесса считаются некоррелированными?

8. Укажите способы расчета среднего квадрата стационарного случайного процесса.

9. Каким преобразованием связаны спектральная плотность и ковариационная функции случайного процесса?

10. В каких пределах изменяются значения функции когерентности двух случайных процессов?

Литература

1. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов / А.Б. Сергиенко. – М: Питер, 2002.– 604 с.

2. Садовский, Г.А. Теоретические основы информационно-измерительной техники / Г.А. Садовский. – М.: Высшая школа, 2008. – 480 с.

3. Бендат, Д. Применение корреляционного и спектрального анализа / Д. Бендат, А. Пирсол. – М.: Мир, 1983. – 312 с.

4. Бендат, Д. Измерение и анализ случайных процессов / Д. Бендат, А. Пирсол. – М.: Мир, 1974. – 464 с.

Facebook

Twitter

Вконтакте

Одноклассники

Google+