Funktionsskizzen. Funktionen und Grafiken. Schutz personenbezogener Daten

In dieser Lektion werden wir uns mit der Technik zum Erstellen einer Skizze eines Funktionsgraphen befassen und erläuternde Beispiele liefern.

Thema: Wiederholung

Lektion: Den Graphen einer Funktion skizzieren (am Beispiel einer gebrochen-quadratischen Funktion)

Unser Ziel ist es, den Graphen einer gebrochenen quadratischen Funktion zu skizzieren. Nehmen wir zum Beispiel eine Funktion, die wir bereits kennen:

Gegeben ist eine Bruchfunktion, deren Zähler und Nenner quadratische Funktionen enthalten.

Die Skizziertechnik ist wie folgt:

1. Wählen Sie Intervalle mit konstantem Vorzeichen aus und bestimmen Sie für jedes das Vorzeichen der Funktion (Abbildung 1).

Wir haben es im Detail untersucht und herausgefunden, dass eine Funktion, die in einer ODZ stetig ist, das Vorzeichen nur ändern kann, wenn das Argument die Wurzeln und Bruchpunkte der ODZ durchläuft.

Die gegebene Funktion y ist in ihrer ODZ stetig; geben wir die ODZ an:

Finden wir die Wurzeln:

Lassen Sie uns die Intervalle der Zeichenkonstanz hervorheben. Wir haben die Wurzeln der Funktion und die Bruchstellen des Definitionsbereichs gefunden – die Wurzeln des Nenners. Es ist wichtig zu beachten, dass die Funktion innerhalb jedes Intervalls ihr Vorzeichen behält.

Reis. 1. Intervalle mit konstantem Vorzeichen einer Funktion

Um das Vorzeichen einer Funktion in jedem Intervall zu bestimmen, können Sie einen beliebigen zum Intervall gehörenden Punkt nehmen, ihn in die Funktion einsetzen und sein Vorzeichen bestimmen. Zum Beispiel:

Auf dem Intervall hat die Funktion ein Pluszeichen

Auf dem Intervall hat die Funktion ein Minuszeichen.

Dies ist der Vorteil der Intervallmethode: Wir bestimmen das Vorzeichen an einem einzelnen Versuchspunkt und schließen daraus, dass die Funktion über das gesamte ausgewählte Intervall das gleiche Vorzeichen haben wird.

Sie können die Vorzeichen jedoch auch automatisch setzen, ohne die Funktionswerte zu berechnen. Dazu ermitteln Sie das Vorzeichen im Extremintervall und wechseln dann die Vorzeichen ab.

1. Erstellen wir einen Graphen in der Nähe jeder Wurzel. Denken Sie daran, dass die Wurzeln dieser Funktion und:

Reis. 2. Diagramm in der Nähe der Wurzeln

Da an einem Punkt das Vorzeichen der Funktion von Plus nach Minus wechselt, liegt die Kurve zunächst über der Achse, geht dann durch den Nullpunkt und liegt dann unter der x-Achse. Im Moment ist das Gegenteil der Fall.

2. Erstellen wir einen Graphen in der Nähe jeder ODZ-Diskontinuität. Denken Sie daran, dass die Wurzeln des Nenners dieser Funktion und:

Reis. 3. Diagramm der Funktion in der Nähe der Unstetigkeitspunkte der ODZ

Wenn oder der Nenner eines Bruchs praktisch gleich Null ist, bedeutet dies, dass, wenn der Wert des Arguments zu diesen Zahlen tendiert, der Wert des Bruchs gegen unendlich tendiert. Wenn sich das Argument in diesem Fall dem Tripel auf der linken Seite nähert, ist die Funktion positiv und tendiert zu plus Unendlich, auf der rechten Seite ist die Funktion negativ und geht über minus Unendlich hinaus. Um vier hingegen geht die Funktion links gegen minus Unendlich und rechts gegen plus Unendlich.

Anhand der erstellten Skizze können wir die Art des Verhaltens der Funktion in einigen Intervallen erraten.

Reis. 4. Skizze des Funktionsgraphen

Betrachten wir die folgende wichtige Aufgabe – eine Skizze des Graphen einer Funktion in der Nähe von Punkten im Unendlichen zu erstellen, d.h. wenn das Argument gegen plus oder minus unendlich tendiert. In diesem Fall können konstante Terme vernachlässigt werden. Wir haben:

Manchmal findet man diese Aufzeichnung dieser Tatsache:

Reis. 5. Skizze des Graphen einer Funktion in der Nähe von Punkten im Unendlichen

Wir haben ein ungefähres Verhalten der Funktion über ihren gesamten Definitionsbereich erhalten; dann müssen wir die Konstruktion mithilfe der Ableitung verfeinern.

Beispiel 1 – Skizzieren Sie einen Graphen einer Funktion:

Wir haben drei Punkte, durch die die Funktion das Vorzeichen ändern kann, wenn das Argument übergeben wird.

Wir bestimmen die Vorzeichen der Funktion in jedem Intervall. Wir haben ein Plus im äußersten rechten Intervall, dann wechseln sich die Vorzeichen ab, da alle Wurzeln den ersten Grad haben.

Wir erstellen eine Skizze des Graphen in der Nähe der Wurzeln und Bruchpunkte der ODZ. Wir haben: Da an einem Punkt das Vorzeichen der Funktion von Plus nach Minus wechselt, liegt die Kurve zunächst über der Achse, geht dann durch Null und liegt dann unter der x-Achse. Wenn oder der Nenner eines Bruchs praktisch gleich Null ist, bedeutet dies, dass, wenn der Wert des Arguments zu diesen Zahlen tendiert, der Wert des Bruchs gegen unendlich tendiert. Wenn sich das Argument in diesem Fall links minus zwei nähert, ist die Funktion negativ und strebt nach minus Unendlich, rechts ist die Funktion positiv und geht nach plus Unendlich. Ungefähr zwei ist das Gleiche.

Finden wir die Ableitung der Funktion:

Offensichtlich ist die Ableitung immer kleiner als Null, daher nimmt die Funktion in allen Abschnitten ab. Im Abschnitt von minus Unendlich bis minus zwei nimmt die Funktion also von Null auf minus Unendlich ab; im Abschnitt von minus zwei bis null nimmt die Funktion von plus unendlich auf null ab; im Abschnitt von Null auf Zwei nimmt die Funktion von Null auf minus Unendlich ab; Im Abschnitt von zwei bis plus Unendlich nimmt die Funktion von plus Unendlich auf Null ab.

Lassen Sie uns Folgendes veranschaulichen:

Reis. 6. Skizze des Graphen einer Funktion für Beispiel 1

Beispiel 2 – Skizzieren Sie einen Graphen einer Funktion:

Wir erstellen eine Skizze des Graphen einer Funktion, ohne eine Ableitung zu verwenden.

Schauen wir uns zunächst die gegebene Funktion an:

Wir haben einen einzigen Punkt, durch den die Funktion das Vorzeichen ändern kann, wenn das Argument übergeben wird.

Beachten Sie, dass die angegebene Funktion ungerade ist.

Wir bestimmen die Vorzeichen der Funktion in jedem Intervall. Wir haben ein Plus im äußersten rechten Intervall, dann ändert sich das Vorzeichen, da die Wurzel den ersten Grad hat.

Wir erstellen eine Skizze des Graphen in der Nähe der Wurzel. Wir haben: Da an einem Punkt das Vorzeichen der Funktion von minus nach plus wechselt, liegt die Kurve zunächst unter der Achse, geht dann durch Null und liegt dann über der x-Achse.

Nun erstellen wir eine Skizze des Funktionsgraphen in der Nähe von Punkten im Unendlichen, d. h. wenn das Argument gegen plus oder minus unendlich tendiert. In diesem Fall können konstante Terme vernachlässigt werden. Wir haben:

Nachdem wir die obigen Schritte ausgeführt haben, stellen wir uns bereits den Graphen der Funktion vor, müssen ihn jedoch mithilfe der Ableitung verdeutlichen.

Finden wir die Ableitung der Funktion:

Wir wählen Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Ableitung: bei . ODZ hier. Somit haben wir drei Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Ableitung und drei Abschnitte mit Monotonie der ursprünglichen Funktion. Bestimmen wir die Vorzeichen der Ableitung für jedes Intervall. Wann die Ableitung ist positiv, die Funktion nimmt zu; Wenn die Ableitung negativ ist, nimmt die Funktion ab. In diesem Fall - die Mindestpunktzahl, weil die Ableitung ändert das Vorzeichen von Minus nach Plus; im Gegenteil, die Höchstpunktzahl.

Funktionsgraphen zeichnen. . . . . . . . . . . .
1. Planen Sie die Untersuchung der Funktion beim Erstellen eines Diagramms. .
2. Grundbegriffe und Stufen der Funktionsforschung. . . .
1. Definitionsbereich der Funktion D f und Menge
Werte der Funktion E f . Besondere Eigenschaften
Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Studium der Asymptoten. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Vertikale Asymptoten. . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Schräge (horizontale) Asymptoten. . . . . . .
2.3. Methoden zur Untersuchung nichtvertikaler Asymptoten. .
2.4. Relative Position des Funktionsgraphen
und seine Asymptoten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Skizzieren eines Diagramms der Funktion. . . . . . . . . .
4. Abschnitte mit zunehmender und abnehmender Funktion
Mindest- und Höchstpunktzahl. . . . . . . . . . . . . . .
5. Konvexe Funktion nach oben und unten
Wendepunkte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Differenzierung einer Funktion, analytisch
dessen Ausdruck ein Modul enthält. . . . . . . . . . . . .
4. Grundvoraussetzungen für Forschungsergebnisse
und Plotten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Beispiele für Funktionsforschung und Konstruktion
Funktionsgraphen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurven zeichnen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.Plan zur Erforschung und Konstruktion von Kurven. . . . . . . . . .

2. Grundkonzepte und Phasen der Kurvenforschung. . . . .
	Untersuchung der Funktionen x x t und y y t. . . . . . .
	Nutzung von Forschungsergebnissen x x t . .
2.1. Vertikale Asymptoten der Kurve. . . . . . . . . . .
2.2. Steigende (horizontale) Asymptoten einer Kurve. .
	Analyse der Ergebnisse und Erstellung einer Skizze
Funktionsgrafiken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Abschnitte mit steigender und fallender Kurve
Minimale und maximale Funktionspunkte
x x y und y y x , Scheitelpunkte der Kurve. . . . . . .
	Konvexe Funktion nach oben und unten. Wendepunkte. .
3. Konstruktion parametrisch spezifizierter Kurven. . . . . .
Beispiel 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Probleme zur unabhängigen Lösung. . . . . .
Antworten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Grafikfunktionen

1. Planen Sie die Untersuchung einer Funktion beim Zeichnen eines Diagramms

1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion. Oft ist es sinnvoll, mehrere Werte einer Funktion zu berücksichtigen. Entdecken Sie spezielle Eigenschaften einer Funktion: gerade, ungerade; Periodizität, Symmetrieeigenschaften.

2. Erkunden Sie die Asymptoten des Graphen einer Funktion: vertikal, schräg. Analysieren Sie die relative Position des Graphen einer Funktion und ihrer geneigten (horizontalen) Asymptoten.

3. Zeichnen Sie eine Skizze des Diagramms.

4. Finden Sie Bereiche mit Monotonie der Funktion: steigend und fallend. Finden Sie die Extrema der Funktion: Minima und Maxima.

Finden Sie einseitige Ableitungen an den Diskontinuitätspunkten der Ableitung der Funktion und an den Randpunkten des Definitionsbereichs der Funktion (sofern einseitige Ableitungen existieren).

5. Finden Sie die Konvexitätsintervalle der Funktion und die Wendepunkte.

2. Grundbegriffe und Stufen der Funktionsforschung

1. Funktionsdomäne D f und viele Bedeutungen

tion der Funktion E f . Spezielle Funktionseigenschaften

Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion an, markieren Sie ihn auf der Abszissenachse mit Randpunkten und punktierten Punkten und geben Sie die Abszissen dieser Punkte an. Es ist nicht erforderlich, den Definitionsbereich einer Funktion zu finden.

Es ist nicht notwendig, mehrere Funktionswerte zu finden. Leicht zu untersuchende Eigenschaften einer Menge von Werten: Nichtnegativität, Beschränktheit von unten oder oben usw. werden verwendet, um eine Skizze eines Diagramms zu erstellen, die Ergebnisse der Studie und die Richtigkeit des Diagramms zu kontrollieren.

x gefällt

Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch um die Ordinatenachse Oy. Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung. Gerade und ungerade Funktionen werden auf der positiven Hälfte des Definitionsbereichs untersucht.

Eine periodische Funktion wird in einer Periode untersucht und

Das Diagramm wird in 2-3 Perioden angezeigt.
2. Studium der Asymptoten
2.1. Vertikale Asymptoten
Definition 1.					x x0		angerufen		Vertikale
Asymptote des Graphen der Funktion					y f x ,			wenn abgeschlossen
eine der Bedingungen:				lim f x 1				lim f x .
				x x0 0				x x0 0
2.2. Schräge (horizontale) Asymptoten
noah) Asymptote des Graphen der Funktion						y f x bei x,
lim f x kx b 0 .
						bei x
	Definition von Asymptote
klim			b lim f x kx . Berechnung des entsprechenden
Grenzen erhalten wir die Asymptotengleichung y kx b .
Eine ähnliche Aussage trifft auf den Fall zu, wenn
Wenn k 0, dann heißt die Asymptote schräg.
k 0 , dann die Asymptote				y b heißt horizontal.
Die Konzepte geneigt und horizontal werden auf ähnliche Weise eingeführt.
Asymptoten des Graphen der Funktion y f x							bei x.

2.3. Methoden zur Untersuchung nichtvertikaler Asymptoten Untersuchung der Asymptoten für x und für

Die Regel wird separat durchgeführt.

1 Wir werden das Symbol auch verwenden, um die Erfüllung eines Falles anzuzeigen

In einigen Sonderfällen ist es möglich, die Asymptoten bei x und bei x gemeinsam zu untersuchen, zum Beispiel z

1) rationale Funktionen;

2) gerade und ungerade Funktionen, für deren Graphen die Untersuchung auf einem Teil des Definitionsbereichs durchgeführt werden kann.

Methode zur Auswahl des Hauptteils. Um die Asymptote zu finden, wählen Sie den Hauptteil der Funktion bei x aus. Ebenso für x.

Der Hauptteil einer gebrochenrationalen Funktion Das lässt sich bequem finden, indem man den ganzen Teil des Bruchs markiert:

Beispiel 1. Finden Sie die schiefen Asymptoten des Graphen einer Funktion

f x 2 x 3 x 2 . x 1

f x 2 x 5					o 1 um	x , dann gerade

May y 2 x 5 ist die gewünschte Asymptote. ◄

Der Hauptteil der irrationalen Funktion Beim Lösen praktischer Beispiele ist es praktisch, Methoden zur Darstellung einer Funktion durch die Taylor-Formel für x zu finden.

Beispiel 2. Finden Sie die schräge Asymptote des Graphen einer Funktion

x4 3 x 1

bei x.

x 4 o1

für x, dann die Gerade				y x 4 ist die gewünschte Asymptote.
				irrational
				f x 3			bequem zu finden
	ax2 bx c und				ax3 bx2 cx d

Verwenden Sie die Methode, ein vollständiges Quadrat bzw. eine vollständige Kubikzahl des Wurzelausdrucks zu isolieren.

Beispiel 3. Finden Sie die schrägen Asymptoten des Graphen der Funktion f x x 2 6 x 14 für x und x.

Im Wurzelausdruck wählen wir ein vollständiges Quadrat

x 3 2

5. Da der Graph der Funktion

f x ist symmetrisch

relativ zur Geraden x 3 und

dann f x ~

bei x.

x 3 2 5

Es ist also gerade

y x 3 ist

Asymptote bei x und gerade Linie y 3 x

Asymptote bei

X. ◄

Um Asymptoten zu finden, können Sie die Methode der Isolierung des Hauptteils verwenden.

Beispiel 4. Finden Sie die Asymptoten des Graphen der Funktion f x 4 x 2 x 2 .

f x 2

Das ist die Funktion

hat eine Asymptote

y 2 x

und Asymptote

y 2 x

bei x .◄

Für transzendente Funktionen Beide Methoden sind akzeptabel

Befolgen von Asymptoten beim Lösen praktischer Beispiele.

Bemerkung 1. Beim Studium von Asymptoten irrationale, transzendente Funktionen, und auch Funktionen, deren analytischer Ausdruck ein Modul enthält, Es empfiehlt sich, zwei Fälle zu betrachten: x und x. Eine gemeinsame Untersuchung der Asymptoten bei x und bei x kann zu Fehlern in der Untersuchung führen. Beim Finden der Grenzen oder des Hauptteils von x ist es notwendig, die Variable x t zu ändern.

2.4. Die relative Position des Graphen einer Funktion und ihrer Asymptoten

a) Wenn die Funktion y f x eine Asymptote bei x hat,

ist differenzierbar und streng konvex nach unten auf dem Strahl x x 0, dann der Graph

der fic der Funktion liegt über der Asymptote (Abb. 1.1).

b) Wenn die Funktion y f x eine Asymptote bei x hat,

ist dann differenzierbar und auf dem Strahl x x 0 streng konvex nach oben

der Graph der Funktion liegt unterhalb der Asymptote (Abb. 1.2).

c) Es kann andere Fälle geben, in denen sich der Graph einer Funktion verhält, da er zu einer Asymptote tendiert. Beispielsweise ist es möglich, dass der Graph einer Funktion die Asymptote unendlich oft schneidet (Abb. 1.3 und 1.4).

Eine ähnliche Aussage gilt für x.

Bevor die Eigenschaften der Konvexität eines Funktionsgraphen untersucht werden, können die relativen Positionen des Funktionsgraphen und seiner Asymptoten durch das Vorzeichen o 1 bei der Methode der Isolierung des Hauptteils bestimmt werden.

Beispiel 5. Bestimmen Sie die relative Position des Diagramms

Funktion f x 2 x 2 3 x 2 und ihre Asymptoten. x 1

f x 2 x 5						bei x, dann gra-
						y 2 x 5 . Weil
FIC-Funktionen liegen			über der Asymptote

0 bei x, dann liegt der Graph der Funktion unterhalb der Asymptotik

du y 2 x 5 . ◄

Beispiel 6. Bestimmen Sie die relative Position des Diagramms

Funktionen f x

x4 3 x 1

und seine Asymptoten für x.

x 2 1

Aus Gleichheit

x folgt daraus, dass der Graph der Funktion unterhalb der Asymptote y x 4 liegt. ◄

Beispiel 7. Bestimmen Sie die relative Position des Graphen der Funktion f x x 2 6 x 14 und ihrer Asymptoten.

Da f x x 3 (siehe Beispiel 3), dann

x 3 2 5 x 3

der Graph der Funktion liegt über der Asymptote y x 3 bei x und bei x. ◄

Beispiel 8. Bestimmen Sie die relative Position des Diagramms

f x 3 x 3 6 x 2 2 x 14 und seine Asymptoten.

als x 3 6 x 2

2 x 14 x 2 3 14 x 6, dann verwenden

a x 2 3 14 x 6 ,

b x 2 3 , wir erhalten f x x 2

14x6

3 x 2 3 14x 6 2

x 2 3

x 2 3 14x 6

x 2 2

die Differenz ist bei x positiv

und negativ bei x

Daher liegt der Graph der Funktion bei x unterhalb der Asymptote y x 2 und bei x oberhalb der Asymptote y x 2.◄

Die Methode zur Berechnung von Grenzwerten für die Untersuchung von Asymptoten ermöglicht es nicht, die relative Position des Graphen einer Funktion und ihrer Asymptoten abzuschätzen.

3. Skizzieren eines Diagramms einer Funktion Um eine Skizze eines Diagramms zu erstellen, vertikal und

schräge Asymptoten, Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den Achsen. Unter Berücksichtigung der relativen Lage des Graphen der Funktion und der Asymptoten wird eine Skizze des Graphen erstellt. Wenn der Graph einer Funktion über (unter) der Asymptote bei x liegt, dann nehmen wir das an

es einen Punkt x 0 gibt, so dass es unter den Punkten x x 0 keine Wendepunkte gibt,

Wir stellen fest, dass die Funktion nach unten (aufwärts) konvex ist, also zu einer Asymptote. Ebenso kann man die Richtung der Konvexität zur Asymptote für vertikale Asymptoten und für die Asymptote bei x vorhersagen. Allerdings, wie das obige Beispiel zeigt

Funktion y x sin 2 x , solche Annahmen sind möglicherweise nicht x

4. Bereiche mit zunehmender und abnehmender Funktion. Mindest- und Höchstpunktzahl

Definition 3.	Die Funktion f x wird aufgerufen	zunehmend
(abnehmend) im Intervall a, b, falls vorhanden		x1 , x2 a, b ,
so dass x 1 x 2	es gibt Ungleichheit	f x1 f x2
(f x1 f x2 ).

Funktion f x differenzierbar im Intervall a, b

schmilzt (abnimmt) im Intervall a, b, genau dann, wenn

Funktion f x .

Eine notwendige Bedingung für ein Extremum. Wenn

Punkt-Ex-

Tremum der Funktion f x , dann an dieser Stelle entweder

f x 0 0 , oder

Derivat existiert nicht.

Ausreichende Bedingungen für ein Extremum.

f x Differenz

1. Es gebe 0, so dass die Funktion

ist in einer punktierten Umgebung des Punktes x 0 strahlbar

und kontinuierlich

am Punkt x 0 . Dann,

a) wenn seine Ableitung das Vorzeichen von Minus in Plus ändert, wenn

Fortschritt durch den Punkt		x 0 ,
			x x 0 , x 0 , dann ist x 0 der Maximalpunkt
	x 0 für alle
Funktionen f x ;
	b) wenn seine Ableitung das Vorzeichen von Plus zu Minus ändert, wenn
Fortschritt durch den Punkt		x 0 ,
			diese. f x 0 für jedes x x 0 , x 0 ,
			x x 0 , x 0 , dann ist x 0 der Minimalpunkt
	x 0 für alle

Funktionen f x .

Modellbeispiele sind y x (Abb. 2.1) und

In dieser Lektion werden wir uns mit der Technik zum Erstellen einer Skizze eines Funktionsgraphen befassen und erläuternde Beispiele liefern.

Thema: Wiederholung

Lektion: Den Graphen einer Funktion skizzieren (am Beispiel einer gebrochen-quadratischen Funktion)

1. Methodik zum Erstellen von Skizzen von Funktionsgraphen

Unser Ziel ist es, den Graphen einer gebrochenen quadratischen Funktion zu skizzieren. Nehmen wir zum Beispiel eine Funktion, die wir bereits kennen:

Gegeben ist eine Bruchfunktion, deren Zähler und Nenner quadratische Funktionen enthalten.

Die Skizziertechnik ist wie folgt:

1. Wählen Sie Intervalle mit konstantem Vorzeichen aus und bestimmen Sie für jedes das Vorzeichen der Funktion (Abbildung 1).

Wir haben es im Detail untersucht und herausgefunden, dass eine Funktion, die in einer ODZ stetig ist, das Vorzeichen nur ändern kann, wenn das Argument die Wurzeln und Bruchpunkte der ODZ durchläuft.

Die gegebene Funktion y ist in ihrer ODZ stetig; geben wir die ODZ an:

Finden wir die Wurzeln:

Lassen Sie uns die Intervalle der Zeichenkonstanz hervorheben. Wir haben die Wurzeln der Funktion und die Bruchstellen des Definitionsbereichs gefunden – die Wurzeln des Nenners. Es ist wichtig zu beachten, dass die Funktion innerhalb jedes Intervalls ihr Vorzeichen behält.

Reis. 1. Intervalle mit konstantem Vorzeichen einer Funktion

Um das Vorzeichen einer Funktion in jedem Intervall zu bestimmen, können Sie einen beliebigen zum Intervall gehörenden Punkt nehmen, ihn in die Funktion einsetzen und sein Vorzeichen bestimmen. Zum Beispiel:

Auf dem Intervall hat die Funktion ein Pluszeichen

Auf dem Intervall hat die Funktion ein Minuszeichen.

Dies ist der Vorteil der Intervallmethode: Wir bestimmen das Vorzeichen an einem einzelnen Versuchspunkt und schließen daraus, dass die Funktion über das gesamte ausgewählte Intervall das gleiche Vorzeichen haben wird.

Sie können die Vorzeichen jedoch auch automatisch setzen, ohne die Funktionswerte zu berechnen. Dazu ermitteln Sie das Vorzeichen im Extremintervall und wechseln dann die Vorzeichen ab.

1. Erstellen wir einen Graphen in der Nähe jeder Wurzel. Denken Sie daran, dass die Wurzeln dieser Funktion und:

Reis. 2. Diagramm in der Nähe der Wurzeln

Da an einem Punkt das Vorzeichen der Funktion von Plus nach Minus wechselt, liegt die Kurve zunächst über der Achse, geht dann durch den Nullpunkt und liegt dann unter der x-Achse. Im Moment ist das Gegenteil der Fall.

2. Erstellen wir einen Graphen in der Nähe jeder ODZ-Diskontinuität. Denken Sie daran, dass die Wurzeln des Nenners dieser Funktion und:

Reis. 3. Diagramm der Funktion in der Nähe der Unstetigkeitspunkte der ODZ

Wenn oder der Nenner eines Bruchs praktisch gleich Null ist, bedeutet dies, dass, wenn der Wert des Arguments zu diesen Zahlen tendiert, der Wert des Bruchs gegen unendlich tendiert. Wenn sich das Argument in diesem Fall dem Tripel auf der linken Seite nähert, ist die Funktion positiv und tendiert zu plus Unendlich, auf der rechten Seite ist die Funktion negativ und geht über minus Unendlich hinaus. Um vier hingegen geht die Funktion links gegen minus Unendlich und rechts gegen plus Unendlich.

Anhand der erstellten Skizze können wir die Art des Verhaltens der Funktion in einigen Intervallen erraten.

Reis. 4. Skizze des Funktionsgraphen

Betrachten wir die folgende wichtige Aufgabe – eine Skizze des Graphen einer Funktion in der Nähe von Punkten im Unendlichen zu erstellen, das heißt, wenn das Argument nach plus oder minus Unendlich tendiert. In diesem Fall können konstante Terme vernachlässigt werden. Wir haben:

Manchmal findet man diese Aufzeichnung dieser Tatsache:

Reis. 5. Skizze des Graphen einer Funktion in der Nähe von Punkten im Unendlichen

Wir haben ein ungefähres Verhalten der Funktion über ihren gesamten Definitionsbereich erhalten; dann müssen wir die Konstruktion mithilfe der Ableitung verfeinern.

2. Lösung von Beispiel Nr. 1

Beispiel 1 – Skizzieren Sie einen Graphen einer Funktion:

Wir haben drei Punkte, durch die die Funktion das Vorzeichen ändern kann, wenn das Argument übergeben wird.

Wir bestimmen die Vorzeichen der Funktion in jedem Intervall. Wir haben ein Plus im äußersten rechten Intervall, dann wechseln sich die Vorzeichen ab, da alle Wurzeln den ersten Grad haben.

Wir erstellen eine Skizze des Graphen in der Nähe der Wurzeln und Bruchpunkte der ODZ. Wir haben: Da an einem Punkt das Vorzeichen der Funktion von Plus nach Minus wechselt, liegt die Kurve zunächst über der Achse, geht dann durch Null und liegt dann unter der x-Achse. Wenn oder der Nenner eines Bruchs praktisch gleich Null ist, bedeutet dies, dass, wenn der Wert des Arguments zu diesen Zahlen tendiert, der Wert des Bruchs gegen unendlich tendiert. Wenn sich das Argument in diesem Fall links minus zwei nähert, ist die Funktion negativ und strebt nach minus Unendlich, rechts ist die Funktion positiv und geht nach plus Unendlich. Ungefähr zwei ist das Gleiche.

Finden wir die Ableitung der Funktion:

Offensichtlich ist die Ableitung immer kleiner als Null, daher nimmt die Funktion in allen Abschnitten ab. Im Abschnitt von minus Unendlich bis minus zwei nimmt die Funktion also von Null auf minus Unendlich ab; im Abschnitt von minus zwei bis null nimmt die Funktion von plus unendlich auf null ab; im Abschnitt von Null auf Zwei nimmt die Funktion von Null auf minus Unendlich ab; Im Abschnitt von zwei bis plus Unendlich nimmt die Funktion von plus Unendlich auf Null ab.

Lassen Sie uns Folgendes veranschaulichen:

Reis. 6. Skizze des Graphen einer Funktion für Beispiel 1

3. Lösung zu Beispiel Nr. 2

Beispiel 2 – Skizzieren Sie einen Graphen einer Funktion:

Wir erstellen eine Skizze des Graphen einer Funktion, ohne eine Ableitung zu verwenden.

Schauen wir uns zunächst die gegebene Funktion an:

Wir haben einen einzigen Punkt, durch den die Funktion das Vorzeichen ändern kann, wenn das Argument übergeben wird.

Beachten Sie, dass die angegebene Funktion ungerade ist.

Wir bestimmen die Vorzeichen der Funktion in jedem Intervall. Wir haben ein Plus im äußersten rechten Intervall, dann ändert sich das Vorzeichen, da die Wurzel den ersten Grad hat.

Wir erstellen eine Skizze des Graphen in der Nähe der Wurzel. Wir haben: Da an einem Punkt das Vorzeichen der Funktion von minus nach plus wechselt, liegt die Kurve zunächst unter der Achse, geht dann durch Null und liegt dann über der x-Achse.

Jetzt erstellen wir eine Skizze des Graphen der Funktion in der Nähe von Punkten im Unendlichen, das heißt, wenn das Argument gegen plus oder minus unendlich tendiert. In diesem Fall können konstante Terme vernachlässigt werden. Wir haben:

Nachdem wir die obigen Schritte ausgeführt haben, stellen wir uns bereits den Graphen der Funktion vor, müssen ihn jedoch mithilfe der Ableitung verdeutlichen.

„Ableitungsprobleme“ – ?f(x) = f(x) – f(x0). x0 x0+?x. Wie stellen Sie sich die momentane Geschwindigkeit vor? Momentangeschwindigkeitsproblem. j. Wie stellen Sie sich die momentane Geschwindigkeit vor? ?X=x-x0. Das Gesagte wird im Formular niedergeschrieben. Zunächst definierten wir das „Gebiet“ unserer Forschung. A l g o r i t m. Die Geschwindigkeit v nimmt allmählich zu.

„Untersuchung der Ableitungsfunktion“ – Die Kanone feuert schräg zum Horizont. Option 1 A B D Option2 G B B. Städtische Bildungseinrichtung Meshkovskaya-Sekundarschule Mathematiklehrerin Kovaleva T.V. Die Funktion ist auf dem Segment [-4;4] definiert. Wie hängen Ableitung und Funktion zusammen? Antworten: ANWENDUNG DER ABLEITUNG AUF DIE UNTERSUCHUNG DER FUNKTION: steigende und fallende Funktionen. AUFGABE Erinnern Sie sich an die Geschichte über Baron Münchhausen?

„Ableitung einer komplexen Funktion“ – Komplexe Funktion. Die Regel zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion. Ableitung einer einfachen Funktion. Ableitung einer komplexen Funktion. Komplexe Funktion: Beispiele:

„Anwendung der Ableitung auf das Studium von Funktionen“ - 6. -1. 8. Identifizieren Sie die kritischen Punkte der Funktion anhand des Diagramms der Ableitung der Funktion. 1. =. 1. Juli 1646 – 14. November 1716, Aufwärmen. Ein Zeichen für zunehmende und abnehmende Funktion. Bestimmen Sie das Vorzeichen der Ableitung der Funktion nach Intervallen.

„Lektion über die Ableitung einer komplexen Funktion“ – Die Ableitung einer komplexen Funktion. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Punktes: a) zum Zeitpunkt t; b) im Moment t=2 s. Finden Sie die Ableitungen der Funktionen: , If. Brooke Taylor. Finden Sie das Differential der Funktion: Bei welchen Werten von x gilt die Gleichheit. Der Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz s(t) = s(t) = (s ist der Weg in Metern, t ist die Zeit in Sekunden).

„Definition der Ableitung“ - 1. Beweis: f(x+ ?x). Seien u(x), v(x) und w(x) differenzierbare Funktionen in einem Intervall (a; b), C ist eine Konstante. f(x). Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten: Mit der Binomialformel von Newton erhalten wir: Satz. Dann: Ableitung einer komplexen Funktion.

Insgesamt gibt es 31 Vorträge

In dieser Lektion werden wir uns mit der Technik zum Erstellen einer Skizze eines Funktionsgraphen befassen und erläuternde Beispiele liefern.

Thema: Wiederholung

Lektion: Den Graphen einer Funktion skizzieren (am Beispiel einer gebrochen-quadratischen Funktion)

Unser Ziel ist es, den Graphen einer gebrochenen quadratischen Funktion zu skizzieren. Nehmen wir zum Beispiel eine Funktion, die wir bereits kennen:

Gegeben ist eine Bruchfunktion, deren Zähler und Nenner quadratische Funktionen enthalten.

Die Skizziertechnik ist wie folgt:

1. Wählen Sie Intervalle mit konstantem Vorzeichen aus und bestimmen Sie für jedes das Vorzeichen der Funktion (Abbildung 1).

Wir haben es im Detail untersucht und herausgefunden, dass eine Funktion, die in einer ODZ stetig ist, das Vorzeichen nur ändern kann, wenn das Argument die Wurzeln und Bruchpunkte der ODZ durchläuft.

Die gegebene Funktion y ist in ihrer ODZ stetig; geben wir die ODZ an:

Finden wir die Wurzeln:

Lassen Sie uns die Intervalle der Zeichenkonstanz hervorheben. Wir haben die Wurzeln der Funktion und die Bruchstellen des Definitionsbereichs gefunden – die Wurzeln des Nenners. Es ist wichtig zu beachten, dass die Funktion innerhalb jedes Intervalls ihr Vorzeichen behält.

Reis. 1. Intervalle mit konstantem Vorzeichen einer Funktion

Um das Vorzeichen einer Funktion in jedem Intervall zu bestimmen, können Sie einen beliebigen zum Intervall gehörenden Punkt nehmen, ihn in die Funktion einsetzen und sein Vorzeichen bestimmen. Zum Beispiel:

Auf dem Intervall hat die Funktion ein Pluszeichen

Auf dem Intervall hat die Funktion ein Minuszeichen.

Dies ist der Vorteil der Intervallmethode: Wir bestimmen das Vorzeichen an einem einzelnen Versuchspunkt und schließen daraus, dass die Funktion über das gesamte ausgewählte Intervall das gleiche Vorzeichen haben wird.

Sie können die Vorzeichen jedoch auch automatisch setzen, ohne die Funktionswerte zu berechnen. Dazu ermitteln Sie das Vorzeichen im Extremintervall und wechseln dann die Vorzeichen ab.

1. Erstellen wir einen Graphen in der Nähe jeder Wurzel. Denken Sie daran, dass die Wurzeln dieser Funktion und:

Reis. 2. Diagramm in der Nähe der Wurzeln

Da an einem Punkt das Vorzeichen der Funktion von Plus nach Minus wechselt, liegt die Kurve zunächst über der Achse, geht dann durch den Nullpunkt und liegt dann unter der x-Achse. Im Moment ist das Gegenteil der Fall.

2. Erstellen wir einen Graphen in der Nähe jeder ODZ-Diskontinuität. Denken Sie daran, dass die Wurzeln des Nenners dieser Funktion und:

Reis. 3. Diagramm der Funktion in der Nähe der Unstetigkeitspunkte der ODZ

Wenn oder der Nenner eines Bruchs praktisch gleich Null ist, bedeutet dies, dass, wenn der Wert des Arguments zu diesen Zahlen tendiert, der Wert des Bruchs gegen unendlich tendiert. Wenn sich das Argument in diesem Fall dem Tripel auf der linken Seite nähert, ist die Funktion positiv und tendiert zu plus Unendlich, auf der rechten Seite ist die Funktion negativ und geht über minus Unendlich hinaus. Um vier hingegen geht die Funktion links gegen minus Unendlich und rechts gegen plus Unendlich.

Anhand der erstellten Skizze können wir die Art des Verhaltens der Funktion in einigen Intervallen erraten.

Reis. 4. Skizze des Funktionsgraphen

Betrachten wir die folgende wichtige Aufgabe – eine Skizze des Graphen einer Funktion in der Nähe von Punkten im Unendlichen zu erstellen, d.h. wenn das Argument gegen plus oder minus unendlich tendiert. In diesem Fall können konstante Terme vernachlässigt werden. Wir haben:

Manchmal findet man diese Aufzeichnung dieser Tatsache:

Reis. 5. Skizze des Graphen einer Funktion in der Nähe von Punkten im Unendlichen

Wir haben ein ungefähres Verhalten der Funktion über ihren gesamten Definitionsbereich erhalten; dann müssen wir die Konstruktion mithilfe der Ableitung verfeinern.

Beispiel 1 – Skizzieren Sie einen Graphen einer Funktion:

Wir haben drei Punkte, durch die die Funktion das Vorzeichen ändern kann, wenn das Argument übergeben wird.

Wir bestimmen die Vorzeichen der Funktion in jedem Intervall. Wir haben ein Plus im äußersten rechten Intervall, dann wechseln sich die Vorzeichen ab, da alle Wurzeln den ersten Grad haben.

Wir erstellen eine Skizze des Graphen in der Nähe der Wurzeln und Bruchpunkte der ODZ. Wir haben: Da an einem Punkt das Vorzeichen der Funktion von Plus nach Minus wechselt, liegt die Kurve zunächst über der Achse, geht dann durch Null und liegt dann unter der x-Achse. Wenn oder der Nenner eines Bruchs praktisch gleich Null ist, bedeutet dies, dass, wenn der Wert des Arguments zu diesen Zahlen tendiert, der Wert des Bruchs gegen unendlich tendiert. Wenn sich das Argument in diesem Fall links minus zwei nähert, ist die Funktion negativ und strebt nach minus Unendlich, rechts ist die Funktion positiv und geht nach plus Unendlich. Ungefähr zwei ist das Gleiche.

Finden wir die Ableitung der Funktion:

Offensichtlich ist die Ableitung immer kleiner als Null, daher nimmt die Funktion in allen Abschnitten ab. Im Abschnitt von minus Unendlich bis minus zwei nimmt die Funktion also von Null auf minus Unendlich ab; im Abschnitt von minus zwei bis null nimmt die Funktion von plus unendlich auf null ab; im Abschnitt von Null auf Zwei nimmt die Funktion von Null auf minus Unendlich ab; Im Abschnitt von zwei bis plus Unendlich nimmt die Funktion von plus Unendlich auf Null ab.

Lassen Sie uns Folgendes veranschaulichen:

Reis. 6. Skizze des Graphen einer Funktion für Beispiel 1

Beispiel 2 – Skizzieren Sie einen Graphen einer Funktion:

Wir erstellen eine Skizze des Graphen einer Funktion, ohne eine Ableitung zu verwenden.

Schauen wir uns zunächst die gegebene Funktion an:

Wir haben einen einzigen Punkt, durch den die Funktion das Vorzeichen ändern kann, wenn das Argument übergeben wird.

Beachten Sie, dass die angegebene Funktion ungerade ist.

Wir bestimmen die Vorzeichen der Funktion in jedem Intervall. Wir haben ein Plus im äußersten rechten Intervall, dann ändert sich das Vorzeichen, da die Wurzel den ersten Grad hat.

Wir erstellen eine Skizze des Graphen in der Nähe der Wurzel. Wir haben: Da an einem Punkt das Vorzeichen der Funktion von minus nach plus wechselt, liegt die Kurve zunächst unter der Achse, geht dann durch Null und liegt dann über der x-Achse.

Nun erstellen wir eine Skizze des Funktionsgraphen in der Nähe von Punkten im Unendlichen, d. h. wenn das Argument gegen plus oder minus unendlich tendiert. In diesem Fall können konstante Terme vernachlässigt werden. Wir haben:

Nachdem wir die obigen Schritte ausgeführt haben, stellen wir uns bereits den Graphen der Funktion vor, müssen ihn jedoch mithilfe der Ableitung verdeutlichen.

Finden wir die Ableitung der Funktion:

Wir wählen Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Ableitung: bei . ODZ hier. Somit haben wir drei Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Ableitung und drei Abschnitte mit Monotonie der ursprünglichen Funktion. Bestimmen wir die Vorzeichen der Ableitung für jedes Intervall. Wann die Ableitung ist positiv, die Funktion nimmt zu; Wenn die Ableitung negativ ist, nimmt die Funktion ab. In diesem Fall - die Mindestpunktzahl, weil die Ableitung ändert das Vorzeichen von Minus nach Plus; im Gegenteil, die Höchstpunktzahl.

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