Konkurrierende Punkte und Sichtbarkeitsbestimmung. Zeichnen einer beliebigen geraden Linie in der Ebene konkurrierender Profile

Entlang sich kreuzender Linien

Zwei Punkte, deren horizontale Projektionen übereinstimmen, werden als horizontal konkurrierend bezeichnet. Die Frontalprojektionen solcher Punkte (siehe Punkte A und B in Abb. 41) überdecken sich nicht, sondern die horizontalen konkurrieren, d.h. Es ist nicht klar, welcher Punkt sichtbar und welcher geschlossen ist.

Von zwei horizontal konkurrierenden Punkten im Raum ist der höhere sichtbar; seine Frontalprojektion ist im Diagramm höher. Das bedeutet, dass von zwei Punkten A und B in Abb. 41 Punkt A auf der horizontalen Projektionsebene ist sichtbar und Punkt B ist geschlossen (nicht sichtbar).

Zwei Punkte, deren Frontalprojektionen übereinstimmen, werden als frontal konkurrierend bezeichnet (siehe Punkte C und D in Abb. 41). Von den beiden frontal konkurrierenden Punkten ist der nähere sichtbar; seine horizontale Projektion ist im Diagramm niedriger.

Wir haben ähnliche Paare konkurrierender Punkte 1, 2 und 3, 4 in Abb. 42 auf den Schnittlinien m und n. Die Punkte 3 und 4 konkurrieren frontal, wobei Punkt 3 als weiter entfernter nicht sichtbar ist. Dieser Punkt gehört zur Linie n (dies ist auf der horizontalen Projektion zu sehen), was bedeutet, dass Linie n in der Nähe der Punkte 3 und 4 auf der Frontalprojektion hinter Linie m liegt.

Die Punkte 1 und 2 konkurrieren horizontal. Anhand ihrer Frontalprojektionen stellen wir fest, dass Punkt 1 über Punkt 2 liegt und zur Geraden m gehört. Dies bedeutet, dass auf der horizontalen Projektion in der Nähe der Punkte 1 und 2 die Linie n darunter liegt, d. h. nicht sichtbar.

Auf diese Weise wird die Sichtbarkeit der Ebenen von Polyedern und linearen Flächen bestimmt, weil Konkurrierende Punkte auf Schnittlinien: Kanten und sich bildende Körper sind leicht zu identifizieren.

Reis. 42

Rechtwinklige Projektionen

Wenn die Ebene des rechten Winkels parallel zu einer beliebigen Projektionsebene ist, zum Beispiel P 1 (Abb. 43, Abb. 44), dann wird der rechte Winkel ohne Verzerrung auf diese Ebene projiziert. In diesem Fall sind beide Seiten des Winkels parallel zur Ebene P1. Wenn beide Seiten eines rechten Winkels zu keiner der Ebenen parallel sind, wird der rechte Winkel verzerrt auf alle Projektionsebenen projiziert.

Wenn eine Seite eines rechten Winkels parallel zu einer beliebigen Projektionsebene ist, wird der rechte Winkel in voller Größe auf diese Projektionsebene projiziert (Abb. 45, Abb. 46).

Lassen Sie uns diese Position beweisen.

Die Seite BC des Winkels ABC sei parallel zur Ebene P1. B 1 C 1 – seine horizontale Projektion; B 1 C 1 ║BC. A 1 – horizontale Projektion des Punktes A. Die Ebene A 1 AB, die die Gerade AB auf die Ebene P 1 projiziert, steht senkrecht auf BC (da BC AB und BC BB 1). Und weil BC║B 1 C 1, was Ebene AB B 1 C 1 bedeutet. In diesem Fall A 1 B 1 B 1 C 1. Also ist A 1 B 1 C 1 ein rechter Winkel. Überlegen Sie, wie das Diagramm eines geraden ABC aussieht, dessen Seite BC parallel zur Ebene P 1 verläuft.

Reis. 43 Abb. 44

Reis. 45 Abb. 46

Ähnliche Überlegungen können für die Projektion eines rechten Winkels angestellt werden, dessen eine Seite parallel zur Ebene P2 verläuft. In Abb. 47 zeigt ein visuelles Bild und Diagramme eines rechten Winkels.

Der Punkt kann in jedem der acht Oktanten liegen. Ein Punkt kann auch auf einer beliebigen Projektionsebene (zu dieser gehören) oder auf einer beliebigen Koordinatenachse liegen. In Abb. Abbildung 15 zeigt Punkte, die sich in verschiedenen Raumvierteln befinden. Punkt IN steht im ersten Oktanten. Es wird aus der Projektionsebene entfernt P 1 , in einem Abstand, der dem Abstand von seiner Frontalprojektion entspricht IN zur Projektionsachse und von der Ebene P 2 auf einen Abstand, der dem Abstand seiner horizontalen Projektion zur Achse der Projektionen entspricht. Bei der Transformation eines räumlichen Layouts wird die horizontale Projektionsebene verwendet P 1 entfaltet sich in der durch den Pfeil angezeigten Richtung, und die horizontale Projektion des Punktes entfaltet sich zusammen mit ihm IN , die Frontalprojektion bleibt bestehen.

Punkt A liegt im zweiten Oktanten. Wenn die Projektionsebenen gedreht werden, liegen beide Projektionen dieses Punktes (horizontal und frontal) im Diagramm auf derselben Verbindungslinie über der Projektionsachse X . Aus den Projektionen lässt sich dieser Punkt ermitteln A etwas näher an der Projektionsebene liegen P 2 als zum Flugzeug P 1 , da seine Frontalprojektion über der Horizontalen liegt.

Punkt MIT liegt im vierten Oktanten. Hier die horizontalen und frontalen Projektionen des Punktes MIT befindet sich unterhalb der Projektionsachse. Da die horizontale Projektion eines Punktes MIT näher an der Projektionsachse als die Frontalachse, dann der Punkt MIT liegt näher an der Frontalebene der Projektionen, ähnlich den Projektionen eines Punktes A auf der Frontalebene der Projektionen.

Somit kann man anhand der Lage der Projektionen von Punkten relativ zur Achse der Projektionen die Position der Punkte im Raum beurteilen, d. h. man kann feststellen, in welchen Ecken des Raumes sie sich befinden und in welchen Abständen sie voneinander entfernt sind die Projektionsebenen usw.

In Abb. In Abb. 16 zeigt auch Punkte, die bestimmte (Sonderpositionen) einnehmen. Punkt E gehört zur horizontalen Ebene P 1 ; Frontalprojektion E 2 Dieser Punkt liegt auf der Projektionsachse und der horizontalen Projektion E 1 stimmt mit dem Punkt selbst überein.

Punkt F gehört zur Frontalebene P 2 ; horizontale Projektion F 1 Dieser Punkt liegt auf der Projektionsachse und der Frontalprojektion F 2 passt zu ihr. Punkt G gehört zur Projektionsachse. Beide Projektionen dieses Punktes liegen auf der Koordinatenachse.

Wenn ein Punkt zur Projektionsebene gehört, liegt eine seiner Projektionen auf der Achse und die andere fällt mit dem Punkt zusammen.

Der Abstand eines Punktes von der Frontalebene der Projektionen wird aufgerufen Tiefe Punkte, aus dem Profil - Breite und von der horizontalen Projektionsebene – Höhe. Diese Parameter können durch Segmente von Kommunikationsleitungen im Diagramm bestimmt werden. Zum Beispiel in Abb. 13-Punkt-Tiefe A gleich dem Segment A X Eine 1, Breite 0A x oder A 2 A z , Höhe – zu Segmenten A X A 2 oder A bei A 3. Außerdem kann die Tiefe eines Punktes durch die Größe des Segments bestimmt werden A z A 3, da es immer gleich dem Segment ist A X Eine 1.

In Abb. 17 zeigt einige Punkte. Wie Sie dieser Abbildung entnehmen können, handelt es sich um eine der Projektionen des Punktes MIT , in diesem Fall frontal, liegt auf der Achse X . Wenn Sie die Koordinaten eines Punktes aufschreiben MIT , dann sehen sie so aus: MIT (x, y, 0). Daraus schließen wir, da die Koordinate des Punktes MIT entlang der Achse Z (Höhe) Null ist, dann befindet sich der Punkt selbst auf der horizontalen Projektionsebene am Ort seiner horizontalen Projektion.

Aufzeichnen der Koordinaten eines Punktes A sieht so aus: A (0, 0, z). Punktkoordinate A entlang der Achse X gleich Null, was einen Punkt bedeutet A kann nicht auf der frontalen oder horizontalen Projektionsebene lokalisiert werden. Punktkoordinate A und entlang der Achse j ist ebenfalls gleich Null, daher kann der Punkt nicht auf der Profilebene der Projektionen liegen. Daraus schließen wir, dass der Punkt A auf der Achse gelegen z , die die Schnittlinie der Frontal- und Profilprojektionsebene ist.

Frontalprojektion des Punktes ZU in Abb. 17 befindet sich unterhalb der Achse X , daher liegt der Punkt selbst unterhalb der horizontalen Projektionsebene. Unterhalb der horizontalen Ebene liegen die Oktanten III und IV (siehe Abb. 12). Und seit der Projektion K 1 befindet sich im Diagramm unterhalb der Achse j , dann kommen wir zu dem Schluss, dass der Punkt selbst ZU befindet sich im vierten Oktanten des Raumes.

Punkt IN liegt im ersten Oktanten des Raumes, und anhand der Lage der Projektionen können wir diesen Punkt beurteilen IN gehört weder zu Projektionsebenen noch zu Koordinatenachsen.

Einen besonderen Platz in der beschreibenden Geometrie nehmen konkurrierende Punkte ein. Konkurrieren werden Punkte genannt, deren Projektionen auf einer beliebigen Projektionsebene zusammenfallen. Die konkurrierende Punktmethode wird zur Lösung verschiedener Probleme verwendet, insbesondere zur Bestimmung der Sichtbarkeit von Objekten. In Abb. 18 zeigt zwei Paare konkurrierender Punkte: B–T Und A–E . Punkte B–T stehen horizontal im Wettbewerb, da ihre Projektionen auf der horizontalen Projektionsebene und den Punkten zusammenfallen A–E – frontal konkurrierend, da ihre Projektionen auf der frontalen Projektionsebene zusammenfallen.

Laut Abb. 18 kann bestimmt werden, dass ein Punkt auf der horizontalen Projektionsebene sichtbar sein wird IN , da es sich im Raum über dem Punkt befindet T . Im Diagramm wird die Sichtbarkeit zweier horizontal konkurrierender Punkte auf der horizontalen Projektionsebene durch Vergleich der Höhe der Frontalprojektionen dieser Punkte bestimmt: Höhe des Punktes IN größer als die Höhe des Punktes T Daher ist der Punkt auf der horizontalen Projektionsebene sichtbar IN , da seine Projektion auf der Frontalebene der Projektionen über der Projektion des Punktes liegt T .

Die Sichtbarkeit zweier frontal konkurrierender Punkte wird auf ähnliche Weise bestimmt, nur wird in diesem Fall die Lage der Projektionen der beiden Punkte auf der horizontalen Projektionsebene verglichen. In Abb. 18 Es ist klar, dass der Punkt A befindet sich im Raum näher am Beobachter als der Punkt E , an der Stelle A axialer Abstand j mehr als ein Punkt E . Auf dem Diagramm die Projektion eines Punktes A – A 1 liegt tiefer als die Projektion des Punktes E – E 1 Daher ist der Punkt auf der Frontalebene der Projektionen sichtbar A .

Die Sichtbarkeit profilkonkurrierender Punkte wird durch den Vergleich der Position der Projektionen entlang der Achse bestimmt X . Der Punkt, dessen Achsenkoordinate X mehr, werden auf der Profilebene der Projektionen sichtbar sein.

Mithilfe eines Diagramms auf einer komplexen Zeichnung und mit bestimmten Kenntnissen und Fähigkeiten ist es einfach, die Position eines Punktes im Raum relativ zu Projektionsebenen, Koordinatenachsen oder anderen Objekten zu bestimmen. Indem Sie die Position eines Punktes aus einem Diagramm erkennen, können Sie auch die Position jedes anderen Objekts im Raum bestimmen, da jedes geometrische Objekt als eine Menge von Punkten dargestellt werden kann, die auf eine bestimmte Weise angeordnet sind.

a b c

In Abb. 19, A Es ist klar, dass der Punkt A liegt weiter als der Punkt IN vom Beobachter im Raum entfernt und beide befinden sich auf gleicher Höhe. In der komplexen Zeichnung (Abb. 19, B) Frontalprojektionen beider Punkte befinden sich in gleichen Abständen von der Achse X ,horizontale Projektion eines Punktes A näher an der Achse gelegen X als die Projektion des Punktes IN . Da die Lage einer Geraden im Raum durch zwei Punkte gegeben ist, verbindet man die Punkte A Und IN gerade Linie, wir erhalten ein Bild der Linie in der Zeichnung. Befinden sich die Frontalprojektionen zweier Punkte einer Geraden im gleichen Abstand von der horizontalen Projektionsebene, liegt die Gerade also parallel zu dieser Ebene (Abb. 19, V).

Antworten zur Prüfung für den Studiengang Ingenieurwesen und Computergrafik.

Gerät Vorsprung beinhaltet projizierende Strahlen, die Ebene, auf der die Projektion durchgeführt wird, und das projizierte Objekt. Alle Strahlen, die ein Objekt projizieren, kommen von einem Punkt S, genannt Projektionszentrum

Projektionsmethoden: Zentral (), parallel (ein Sonderfall von zentral. Die Position der Ebene und die Projektionsrichtung werden bestimmt. Wenn die gerade Linie parallel zur Projektionsrichtung ist, wird sie auf einen Punkt projiziert), Orthogonal .

Die orthogonal-rechteckige Projektion ist ein Sonderfall der Parallelprojektion. Dabei steht die Projektionsrichtung S senkrecht zur Projektionsebene.

Eigenschaften der orthographischen Projektion:

Die Länge eines Segments ist gleich der Länge seiner Projektion geteilt durch den Kosinus des Neigungswinkels des Segments zur Projektionsebene.

Darüber hinaus gilt dies für die orthogonale Projektion Satz der rechtwinkligen Projektion:

Wenn mindestens eine Seite eines rechten Winkels parallel zur Projektionsebene und die andere nicht senkrecht dazu ist, wird der Winkel in voller Größe auf diese Ebene projiziert.

2) Die Methode der Parallelprojektion auf zwei zueinander senkrechten Ebenen wurde vom französischen Geometer Gaspard Monge beschrieben und Monge-Diagramm P1 – horizontal P2 – frontal P3 – Profil genannt

3) Das rechtwinklige Koordinatensystem wird nach dem französischen Mathematiker Descartes auch kartesische Koordinaten genannt. Hier werden drei zueinander senkrechte Ebenen als Koordinatenebenen bezeichnet. Die Geraden, entlang derer sich die Ebenen schneiden, werden Koordinatenachsen genannt. Sie können die Koordinaten eines Punktes anhand seiner Projektionen ermitteln. Die Koordinaten eines Punktes sind die Entfernungen, die durch Kommunikationslinien auf den Koordinatenachsen abgeschnitten werden. Die drei Koordinaten eines Punktes bestimmen seine Position im Raum.

Herkunft UM bewegt sich entlang der Winkelhalbierenden X 21 UMZ 23 was heißt ständige gerade Linienzeichnung. Sie kann beliebig eingestellt werden oder es kann zunächst eine dritte Projektion erstellt werden A 3 , und zeichnen Sie dann die Winkelhalbierende A 1 A 0 A 3 .

4) Die Linien, entlang derer sich die Koordinatenebenen schneiden, werden Koordinatenachsen genannt ( X, Y, Z). Der Schnittpunkt der Koordinatenachsen wird Koordinatenursprung genannt und mit dem Buchstaben bezeichnet UM. Die Koordinatenebenen bilden an ihrem Schnittpunkt 8 Dreieckswinkel und teilen den Raum in 8 Teile – Oktanten (aus dem Lateinischen). Okto- acht).

Zeichen nach Oktantenzahl

Koordinaten I II III IV V VI VII VIII

0X + + + + - - - -

0J + - - + + - - +

0Z + + - - + + - -

Allgemeiner Punkt- ein Punkt im Raum des Oktanten.

Privater Punkt- ein Punkt, der entweder auf der Projektionsachse oder auf der Projektionsebene liegt.

Konkurrierende Punkte- Punkte, die auf demselben projizierten Strahl liegen. Das bedeutet, dass einer von ihnen den anderen überdeckt, zwei gleichnamige Koordinaten gleich sind und die entsprechenden Projektionen dieser Punkte übereinstimmen.

Symmetrische Punkte- Punkte von verschiedene Seiten im gleichen Abstand von der Projektionsachse. Darüber hinaus haben sie unterschiedliche Vorzeichen der entsprechenden Koordinaten.

Horizontal konkurrierende Punkte- Punkte, die so angeordnet sind, dass ihre Projektionen zusammenfallen (d. h. auf der Ebene Π 1 konkurrieren).

Frontal konkurrierende Punkte- Punkte, deren Projektionen auf der Ebene Π 2 zusammenfallen.

Profilieren Sie konkurrierende Punkte- Punkte mit konkurrierenden Projektionen auf der Ebene Π 3.

Ermittlung der Sichtbarkeit konkurrierender Punkte bei der Projektion- räumliche Darstellung der relativen Position konkurrierender Punkte, nämlich: welcher der Punkte höher oder näher am Betrachter liegt; welcher der Punkte, wenn er auf die entsprechende Ebene projiziert wird, einen anderen mit ihm konkurrierenden Punkt „schließt“, d.h. Projektionen, welche Punkte sichtbar oder unsichtbar sein werden. Beispielsweise wird bei horizontal konkurrierenden Punkten derjenige mit der größeren Höhe sichtbar.

Sichtbarkeit konkurrierender Punkte in einer Zeichnung- eine konventionelle Notation für die Bezeichnung von Punkten und das Wettbewerbssymbol in der Zeichnung der Projektionsfolge konkurrierender Punkte auf die Projektionsebene bei Übereinstimmung der Projektionen. Die sichtbare Projektionsbezeichnung steht an erster Stelle. Unsichtbare Bezeichnung - auf der zweiten (oder in Klammern)

5) Die Projektion einer Geraden wird durch Punkte bestimmt

Nehmen wir an, dass frontale und horizontale Projektionen von Punkten gegeben sind A Und IN(Abbildung 10). Wenn wir gerade Linien durch die Projektionen dieser gleichnamigen Punkte ziehen, erhalten wir die Projektionen des Segments AB– frontal ( A 2 IN 2) und horizontal ( A 1 IN 1). Punkte A Und IN liegen in unterschiedlichen Abständen von jeder der Ebenen π 1, π 2, π 3, d.h. gerade AB weder parallel noch senkrecht zu einem von ihnen. Eine solche Linie wird als Generallinie bezeichnet. Hier ist jede der Projektionen kleiner als das Segment selbst A 1 IN 1 <AB, A 2 IN 2 <AB, A 3 IN 3 <AB.

Eine Gerade kann spezielle (bestimmte) Positionen relativ zu Ebenen einnehmen. Schauen wir sie uns an.

Linien parallel zu den Projektionsebenen nehmen eine bestimmte Position im Raum ein und werden aufgerufen gerade Ebene . Abhängig davon, zu welcher Projektionsebene die gegebene Gerade parallel ist, gibt es:

1. Die Gerade verläuft parallel zur Ebene π 1 (Abbildung 11). In diesem Fall ist die Frontalprojektion der Geraden parallel zur Projektionsachse und die Horizontalprojektion ist gleich dem Segment selbst ( A 2 IN 2 ║OH, A 1 IN 1 =│AB│). Eine solche Linie wird als horizontal bezeichnet und mit dem Buchstaben „ H”.

2. Die Gerade verläuft parallel zur π 2 -Ebene (Abbildung 12). In diesem Fall ist seine horizontale Projektion parallel zur Projektionsachse ( MIT 1 D 1 ║OH), und die Frontalprojektion ist gleich dem Segment selbst ( MIT 2 D 2 =│CD│). Eine solche Gerade heißt frontal und wird mit dem Buchstaben „ F”.

3. Die Gerade verläuft parallel zur π 3 -Ebene (Abbildung 13). In diesem Fall liegen die Horizontal- und Frontalprojektionen der Geraden auf derselben Senkrechten zur Projektionsachse OH, und seine Profilprojektion ist gleich dem Segment selbst, d.h. E 1 ZU 1┴ OH, E 2 ZU 2 ┴ OH, E 3 ZU 3┴ EC. Eine solche Gerade wird Profillinie genannt und mit dem Buchstaben „ P”.

Höhenlinien parallel zu zwei Projektionsebenen stehen senkrecht zur dritten Projektionsebene. Solche Linien werden Projektionslinien genannt. Es gibt drei Hauptprojektionslinien: horizontale, frontale und Profilprojektionslinien.

4. Die Gerade verläuft parallel zu zwei Ebenen – π 1 und π 2. Dann steht es senkrecht zur π 3 -Ebene (Abbildung 14). Die Projektion einer Geraden auf die Ebene π 3 ist ein Punkt ( A 3 ≡IN 3) und die Projektionen auf den Ebenen π 1 und π 2 sind parallel zur Achse OH (A 1 IN 1 ║OH, A 2 IN 2 ║OH).

Abbildung 13

5. Die Linie verläuft parallel zu den Ebenen π 1 und π 3, d.h. es steht senkrecht zur π 2 -Ebene (Abbildung 15). Die Projektion einer Geraden auf die Ebene π 2 ist ein Punkt ( MIT 2 ≡D 2) und die Projektionen auf den Ebenen π 1 und π 3 sind parallel zu den Achsen U Und U, d.h. senkrecht zu den Achsen X Und Z, (C 1 D 1┴ OCHSE, C 3 D 3┴ Z).

6. Die Gerade verläuft parallel zu den Ebenen π 2 und π 3, d.h. es steht senkrecht zur π 1 -Ebene (Abbildung 16). Hier ist die Projektion der Geraden auf die Ebene π 1 ein Punkt ( E 1 ≡ZU 1) und die Projektionen auf die Ebenen π 2 und π 3 stehen senkrecht zur Achse OH Und Operationsverstärker jeweils ( E 2 ZU 2┴ OH, E 3 ZU 3┴ Operationsverstärker).

Die Horizontale ist gleich dem Segment – ​​die Frontalprojektion der Geraden verläuft parallel zur Projektionsachse

Die Vorderseite ist gleich dem Segment – ​​die horizontale Projektion verläuft parallel zur Projektionsachse

Der wahre Wert liegt vor, wenn die Linie parallel zur Ebene verläuft.

Satz von Thales- einer von Theoreme Planimetrie.

Aussage des Theorems:

Zwei Paareparallel gerade Linien, die gleiche Linien an einer Sekantenlinie abschneidenSegmente , schneide gleiche Segmente auf jeder anderen Sekante ab.

Nach dem Satz von Thales (siehe Abbildung), if A 1 A 2 = A 2 A 3 dann B 1 B 2 = B 2 B 3 .

Parallele Linien schneiden proportionale Segmente an Sekanten ab:

Gehört ein Punkt zu einer bestimmten Linie, dann liegen die Projektionen dieses Punktes auf den entsprechenden Projektionen der Linie. Eine der Eigenschaften der Parallelprojektion besteht darin, dass das Verhältnis der Geradensegmente gleich dem Verhältnis ihrer Projektionen ist (Abbildung 17). Da gerade AA 1 , SS 1 , BB 1 sind dann parallel zueinander
.

E Dies folgt aus dem Falles-Theorem

Da das Verhältnis der Geradensegmente ist

Relation ihrer Projektionen, dann teilen Sie das Segment in dieser Relation

Eine gerade Linie in einem Diagramm bedeutet, dass man einen Teil davon im gleichen Verhältnis teilt

Vorsprung.

6) Spuren einer Geraden heißen

Die Schnittpunkte einer Geraden mit Projektionsebenen werden als Geradenspuren bezeichnet (Abbildung 19). Horizontale Projektion der horizontalen Spur (Punkt M 1) stimmt mit der Spur selbst und der Frontalprojektion dieser Spur überein M 2 liegt auf der Projektionsachse X. Frontalprojektion der Frontalspur N 2 entspricht der Spur N und seine horizontale Projektion N 1 liegt auf derselben Projektionsachse X. Um die horizontale Spur zu finden, müssen wir daher die Frontalprojektion fortsetzen A 2 IN 2 bis zum Schnittpunkt mit der Achse X und durch den Punkt M 2 Zeichnen Sie senkrecht zur Achse X zum Schnittpunkt mit der Fortsetzung der horizontalen Projektion A 1 IN 1. Punkt M≡M 1 – horizontale Spur einer geraden Linie AB. Ebenso finden wir die Frontalspur N≡N 2 .

Eine Gerade hat auf der Projektionsebene keine Spur, wenn sie parallel zu dieser Ebene verläuft.

7) Auf der horizontalen Projektion A1B1 bauen wir wie auf einer Seite ein rechtwinkliges Dreieck. Der zweite Schenkel dieses Dreiecks entspricht der Differenz der Abstände der Enden des Segments von der horizontalen Projektionsebene. In der Zeichnung wird dieser Unterschied durch den Wert zb-za / bestimmt. Als Ergebnis erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem die Hypotenuse gleich der Länge des Segments AB ist und der Winkel zwischen ihr und dem großen Schenkel der Neigungswinkel ist dieses Segments AB zur horizontalen Projektionsebene

8) Zwei Linien im Raum können parallel sein, sich schneiden oder kreuzen.

Wenn zwei Linien im Raum parallel zueinander sind, dann sind auch ihre Projektionen auf die Ebene parallel zueinander (Abbildung 20). Das Gegenteil ist nicht immer der Fall. Wenn sich Geraden schneiden, dann schneiden sich ihre gleichnamigen Projektionen in einem Punkt, der die Projektion des Schnittpunktes dieser Geraden ist

Geraden sind parallel, wenn: die Schnittpunkte die Projektionen der Geraden sind, die die Enden dieser Segmente verbinden, die Projektionen der Schnittpunkte dieser Geraden sind.

Sich kreuzende Linien schneiden sich nicht und sind nicht parallel zueinander

Wie aus dieser Abbildung ersichtlich ist, handelt es sich um einen Punkt mit Vorsprüngen ZU 2 und ZU 1 gehört zur Linie AB und der Punkt mit Projektionen L 2 und L 1 gehört zur Linie MITD. Diese Punkte sind von der Ebene π 2 gleich weit entfernt, aber ihre Abstände von der Ebene π 1 sind unterschiedlich: Punkt L höher gelegen als der Punkt ZU.

9) Zeichen der Rechtwinkligkeit zweier Geraden, einer Geraden und einer Ebene, in der Stereometrie werden zwei Ebenen berücksichtigt. Erinnern wir uns an einige davon: 1) Zwei Geraden heißen zueinander senkrecht, wenn der Winkel zwischen ihnen 90 ° beträgt; 2) Wenn eine Linie senkrecht zu jeder von zwei Schnittlinien steht, die zu einer Ebene gehören, dann stehen diese Linie und die Ebene senkrecht zueinander; 3) Wenn eine Linie senkrecht zu einer Ebene senkrecht zu einer Linie ist, die zu dieser Ebene gehört. 4) Wenn eine Ebene durch eine Senkrechte zu einer anderen Ebene verläuft, dann steht sie senkrecht zu dieser Ebene

10) Jeder lineare Winkel (spitz, stumpf, rechts) wird in seiner wahren Größe auf die Projektionsebene projiziert, wenn seine Seiten parallel zu dieser Ebene sind. In diesem Fall degeneriert die zweite Projektion des Winkels zu einer Geraden senkrecht zu den Kommunikationslinien. Darüber hinaus wird ein rechter Winkel auch dann auf seinen wahren Wert projiziert, wenn nur eine seiner Seiten parallel zur Projektionsebene ist. Satz 1. Wenn eine Seite eines rechten Winkels parallel zur Projektionsebene ist und die andere eine allgemeine Gerade ist, wird der rechte Winkel ohne Verzerrung, also in einen rechten Winkel, auf diese Projektionsebene projiziert.

Wenn keine der Seiten parallel zur Projektionsebene ist, wird der rechte Winkel DBC auf der Ebene P 2 in einem verzerrten Wert projiziert

Wenn das Flugzeug γ , in dem sich ein bestimmter Winkel befindet ABC, senkrecht zur Projektionsebene (π 1) steht, dann wird es in Form einer Geraden auf diese Projektionsebene projiziert

2. Wenn die Projektion eines Winkels einen Winkel von 90 0 darstellt, dann ist der projizierte Winkel nur dann richtig, wenn eine der Seiten dieses Winkels parallel zur Projektionsebene ist (Abb. 3.26 ).

3. Wenn beide Seiten eines Winkels parallel zur Projektionsebene sind, ist seine Projektion gleich groß wie der projizierte Winkel.

4. Wenn die Seiten des Winkels parallel zur Projektionsebene oder gleich geneigt zu dieser sind, dann entspricht die Halbierung der Projektion des Winkels auf dieser Ebene einer Halbierung des Winkels selbst im Raum.

5. Wenn die Seiten des Winkels nicht parallel zur Projektionsebene sind, wird der Winkel verzerrt auf diese Ebene projiziert

Wenn der Winkel nicht gerade ist und eine Seite davon parallel zur Projektionsebene ist, wird der spitze Winkel auch in Form eines spitzen Winkels kleinerer Größe und ein stumpfer Winkel in Form eines auf diese Ebene projiziert stumpfer Winkel größerer Größe.

11) Die Ebene in der Zeichnung kann angegeben werden:

a) Projektionen von drei Punkten, die nicht auf derselben Linie liegen

b) Projektionen einer Linie und eines Punktes außerhalb der Linie

c) Projektionen zweier Schnittlinien

d) Projektionen zweier paralleler Linien

e) Projektionen einer beliebigen flachen Figur – Dreieck, Polygon, Kreis usw.

f) Die Ebene kann anhand von Spuren – Schnittlinien mit Projektionsebenen – klarer dargestellt werden

Wenn eine Ebene weder parallel noch senkrecht zu einer der Projektionsebenen ist, wird sie als generische Ebene bezeichnet.

Wenn die Ebene parallel zur Ebene π 1 ist, wird eine solche Ebene als horizontal bezeichnet.

Wenn die Ebene parallel zur Ebene π 2 ist, wird eine solche Ebene als Frontalebene bezeichnet

Wenn die Ebene parallel zur Ebene π 3 ist, wird eine solche Ebene als Profilebene bezeichnet

Wenn die Ebene senkrecht zur Ebene π 1 steht (aber nicht parallel zur Ebene π 2), dann wird eine solche Ebene als horizontal projizierend bezeichnet

Wenn die Ebene senkrecht zur Ebene π 2 ist (aber nicht parallel zur Ebene π 1), dann wird eine solche Ebene als Frontprojektion bezeichnet

Wenn die Ebene senkrecht zur Ebene π 3 steht (aber nicht senkrecht zu den Ebenen π 1 und π 2), dann wird eine solche Ebene als Profilprojektion bezeichnet

Die Schnittlinie der Ebene mit der Projektionsebene wird Spur genannt

12-13) Prüfen, ob ein Punkt zu einer Ebene gehört.

Um zu überprüfen, ob ein Punkt zu einer Ebene gehört, verwenden Sie eine zur Ebene gehörende Hilfsgerade. Also in Abb. 3.14 Die Ebene Q wird durch die Projektionen a 1 b 1, a 2 b 2 und c 1 d 1, c 2 d 2 paralleler Linien definiert, der Punkt - durch die Projektionen e 1, e 2. Die Projektionen der Hilfslinie werden so ausgeführt, dass sie durch eine der Ebenen des Punktes verläuft. Beispielsweise verläuft die Frontalprojektion 1 2 2 2 der Hilfslinie durch die Projektion e 2. Nach der Konstruktion der horizontalen Projektion 1 1 2 1 der Hilfslinie ist klar, dass Punkt E nicht zur Q-Ebene gehört.

Zeichnen einer beliebigen geraden Linie in einer Ebene.

Dazu genügt es (Abb. 3.10), auf den Projektionen der Ebene die Projektionen zweier beliebiger Punkte zu nehmen, zum Beispiel a 1, a 2 und 1 1, 1 2, und durch sie die Projektionen a 1 1 zu zeichnen 1, a 2 1 2 der Geraden A-1. In Abb. 3.11 Die Projektionen b 1 1 1, b 2 1 2 der Linie B-1 werden parallel zu den Projektionen a 2 mit 2, a 1 mit 1 der Seite AC des durch die Projektionen definierten Dreiecks gezeichnet a 1 b 1 c 1, a 2 b 2 c 2. Die Linie B-1 gehört zur Ebene des Dreiecks ABC.

Konstruktion eines bestimmten Punktes in der Ebene.

Um einen Punkt in einer Ebene zu konstruieren, wird darin eine Hilfslinie eingezeichnet und darauf ein Punkt markiert. In der Zeichnung (Abb. 3.12) einer Ebene, die durch die Projektionen a 1 , a 2 eines Punktes, b 1 c 1 , b 2 c 2 einer geraden Linie, Projektionen von a 1 1 1 , a 2 1 2 von eine zur Ebene gehörende Hilfsgerade eingezeichnet. Darauf sind die Projektionen d 1, d 2 des zur Ebene gehörenden Punktes D markiert.

Konstruieren der fehlenden Projektion eines Punktes.

In Abb. 3.13 wird die Ebene durch die Projektionen a 1 b 1 c 1, a 2 b 2 c 2 des Dreiecks definiert. Der zu dieser Ebene gehörende Punkt D wird durch die Projektion d 2 definiert. Es ist notwendig, die horizontale Projektion von Punkt D zu vervollständigen. Sie wird unter Verwendung einer zur Ebene gehörenden und durch Punkt D verlaufenden Hilfslinie konstruiert. Führen Sie dazu beispielsweise eine Frontalprojektion durch b 2 1 2 d 2 gerade Linie, Konstruieren Sie seine horizontale Projektion b 1 1 1 und markieren Sie darauf horizontale Projektion d 1 Punkt.

14) Positionsaufgaben sind Aufgaben, bei denen die relative Lage verschiedener geometrischer Figuren zueinander bestimmt wird (siehe Punkt 5)

15)Der Schnittpunkt einer generischen Linie mit einer generischen Ebene

Algorithmus zur Konstruktion des Schnittpunkts:

Bestimmung der Sichtbarkeit einer Linie A durch die Verwendung konkurrierende Punktmethode.(Punkte, auf die es Projektionen gibt P 1 P 1 und die Punkte, auf die es Projektionen gibt P 2 zusammenfallen, was als konkurrierend in Bezug auf die Ebene bezeichnet wird P 2 .)

16) Eine Gerade steht senkrecht auf einer Ebene, wenn sie senkrecht auf zwei sich schneidenden Geraden dieser Ebene steht. Zwei Ebenen stehen senkrecht zueinander, wenn eine der Ebenen eine Gerade senkrecht zu dieser Ebene hat

Um in Projektionen eine gerade Linie senkrecht zur Ebene zu konstruieren, müssen Sie den Satz über die Projektion eines rechten Winkels verwenden.

Eine Gerade steht senkrecht auf einer Ebene, wenn ihre Projektionen senkrecht zu denselben Projektionen der horizontalen und frontalen Richtung der Ebene stehen

Heftige Rechtwinkligkeit zweier gerader Linien

Reis. 15 Abb. 16

Konkurrieren werden Punkte genannt, die auf einem Projektionsstrahl liegen (Abb. 15), die Projektionen auf einer der Projektionsebenen fallen zusammen (A 1 ºB 1; C 2 ºD 2) und auf der anderen Projektion teilen sie sich in zwei separate auf (A 2; B 2), (C 2 ;D 2) (Abb. 16). Von zwei Punkten, die auf einer der Projektionen zusammenfallen und zu unterschiedlichen geometrischen Elementen gehören, ist auf der Projektion derjenige sichtbar, der mit der anderen Projektion weiter von der X-Achse entfernt liegt.

Abbildung 16 zeigt das

Z A >Z B ® (×) A 1 ist auf der Projektion sichtbar und (×) B 1 ist unsichtbar;

y C >y D ® (×) C 2 ist auf der Projektion sichtbar und (×) D 2 ist unsichtbar.

Wenn sich die Linien nicht schneiden und nicht parallel zueinander sind, liegen die Schnittpunkte ihrer gleichnamigen Projektionen nicht auf derselben Verbindungslinie (Abb. 17).

Der Schnittpunkt der Frontalprojektionen der Linien entspricht zwei Punkten E und F, von denen einer zur Linie a und der andere zur Linie b gehört. Ihre Frontalprojektionen fallen zusammen, weil Im Raum liegen beide Punkte E und F auf einer gemeinsamen Senkrechten zur Ebene P2. Die horizontale Projektion dieser Senkrechten, angezeigt durch einen Pfeil (Abb. 17), ermöglicht es uns zu bestimmen, welcher der beiden Punkte näher am Betrachter liegt.

In unserem Fall ist dies der Punkt E, der auf der Linie b liegt. Folglich verläuft die Gerade b an dieser Stelle vor der Geraden a (y E >y F ® b 2 liegt davor und 2 dahinter).

Der Schnittpunkt horizontaler Projektionen entspricht zwei Punkten K und L, die auf verschiedenen Geraden liegen. Die Frontalprojektion beantwortet die Frage, welcher der beiden Punkte höher ist. Wie aus der Zeichnung ersichtlich ist, liegt der Punkt K 2 höher als L 2. Folglich verläuft Linie a über Linie b.

Wir lösen das Problem als Ganzes (Abb. 18).

2. ABCÇP=1,2(1 2 2 ®1 1 2 1);

3. lÇ1,2=(K 1 ®K 2) ;

4. Bestimmen Sie die Sichtbarkeit.

Rechtwinkligkeit einer Geraden und einer Ebene ( zu Aufgabe Nr. 4)

Eine Gerade steht senkrecht auf einer Ebene, wenn sie senkrecht auf zwei Schnittlinien steht, die zur Ebene gehören. In der Ebene werden zwei solcher Geraden (horizontal und frontal) eingezeichnet, zu denen eine Senkrechte konstruiert werden kann.