Federelastizität. Formel für die Federsteifigkeit. Berechnung der Steifigkeit einer zylindrischen Feder

Eine an einer Feder aufgehängte Last verursacht deren Verformung. Wenn eine Feder in der Lage ist, ihre ursprüngliche Form wiederherzustellen, wird ihre Verformung als elastisch bezeichnet.

Für elastische Verformungen gilt das Hookesche Gesetz:

wobei F ¾ elastische Kraft steuert; k¾ Elastizitätskoeffizient (Steifigkeit); D l- Federverlängerung.

Notiz: Das „-“-Zeichen bestimmt die Richtung der elastischen Kraft.

Befindet sich die Last im Gleichgewicht, dann ist die elastische Kraft numerisch gleich der Schwerkraft: k D l = m g, dann können Sie den Federelastizitätskoeffizienten ermitteln:

Wo M¾ Gewicht der Ladung; G¾ Beschleunigung des freien Falls.

Abb.1		Reis. 2

Wenn Federn in Reihe geschaltet sind (siehe Abb. 1), sind die in den Federn auftretenden elastischen Kräfte einander gleich und die Gesamtdehnung des Federsystems ist die Summe der Dehnungen jeder Feder.

Der Steifigkeitskoeffizient eines solchen Systems wird durch die Formel bestimmt:

Wo k 1 - Steifigkeit der ersten Feder; k 2 - Steifigkeit der zweiten Feder.

Bei der Parallelschaltung von Federn (siehe Abb. 2) ist die Dehnung der Federn gleich und die resultierende elastische Kraft ist gleich der Summe der elastischen Kräfte in den einzelnen Federn.

Der Steifigkeitskoeffizient für die Parallelschaltung von Federn ergibt sich aus der Formel:

k res = k 1 + k 2 . (3)

Arbeitsauftrag

1. Befestigen Sie die Feder am Stativ. Hängen Sie Gewichte in der Reihenfolge zunehmender Masse an jede Feder und messen Sie die Dehnung der Feder D l.

2. Nach der Formel F = mg Berechnen Sie die elastische Kraft.

3. Erstellen Sie Diagramme der Abhängigkeit der elastischen Kraft von der Größe der Federdehnung. Bestimmen Sie anhand der Darstellung der Diagramme, ob das Hookesche Gesetz erfüllt ist.

5. Ermitteln Sie den absoluten Fehler jeder Messung

D k i = ê k i - k Heiraten ê.

6. Ermitteln Sie das arithmetische Mittel absoluter Fehler D k Heiraten

7. Tragen Sie die Ergebnisse der Messungen und Berechnungen in die Tabelle ein.

1. Führen Sie Messungen durch (wie in Aufgabe 1 beschrieben) und berechnen Sie die Elastizitätskoeffizienten von in Reihe und parallel geschalteten Federn.

2. Ermitteln Sie den Durchschnittswert der Koeffizienten und den Fehler ihrer Messungen. Tragen Sie die Ergebnisse der Messungen und Berechnungen in die Tabelle ein.

4. Finden Sie den experimentellen Fehler, indem Sie die theoretischen Werte des Elastizitätskoeffizienten mit den experimentellen Werten anhand der Formel vergleichen:

.

Sicherheitsfragen

Formulieren Sie das Hookesche Gesetz.

Definieren Sie den Verformungs- und Elastizitätskoeffizienten. Nennen Sie die Maßeinheiten dieser Größen in SI.

Wie ergibt sich der Elastizitätskoeffizient bei Parallel- und Reihenschaltung von Federn?

Laborarbeit Nr. 1-5

Studium der Gesetze der Dynamik

Vorwärtsbewegung

Theoretische Informationen

Dynamik untersucht die Ursachen mechanischer Bewegung.

Trägheit- die Fähigkeit eines Körpers, einen Ruhezustand oder eine geradlinige, gleichmäßige Bewegung aufrechtzuerhalten, wenn andere Körper nicht auf diesen Körper einwirken.

Gewicht m (kg)- ein quantitatives Maß für die Körperträgheit.

Newtons erstes Gesetz:

Es gibt Bezugssysteme, in denen ein Körper ruht oder sich in einem Zustand linearer gleichförmiger Bewegung befindet, wenn keine anderen Körper auf ihn einwirken.

Bezugsrahmen, in denen Newtons erstes Gesetz erfüllt ist, werden aufgerufen Trägheit.

Stärke (N) ist eine Vektorgröße, die die Wechselwirkung zwischen Körpern oder Körperteilen charakterisiert.

Das Prinzip der Kräfteüberlagerung:

Wirken Kräfte und gleichzeitig auf einen materiellen Punkt, so können sie durch die resultierende Kraft ersetzt werden.

Wird ein fester Körper unter dem Einfluss äußerer Kräfte verformt, so kommt es in ihm zu Verschiebungen der Teilchen der Kristallgitterknoten. Dieser Verschiebung wirken Teilchenwechselwirkungskräfte entgegen. Dadurch entstehen elastische Kräfte, die auf einen verformten Körper wirken. Der elastische Kraftmodul ist proportional zur Verformung:

Dabei ist die Spannung während der elastischen Verformung, K der Elastizitätsmodul, der gleich der Spannung bei einer relativen Verformung von Eins ist. Wo ist die relative Verformung, ist die absolute Verformung, ist der Anfangswert der Größe, die die Form oder Größe des Körpers charakterisiert.

DEFINITION

Elastizitätskoeffizient ist eine physikalische Größe, die im Hookeschen Gesetz die bei der Verformung eines elastischen Körpers auftretende Dehnung und die elastische Kraft verknüpft. Der gleiche Wert wird Elastizitätskoeffizient genannt. Es zeigt die Veränderung der Körpergröße unter Belastungseinfluss bei elastischer Verformung.

Der Elastizitätskoeffizient hängt vom Material des Körpers und seiner Größe ab. Wenn also die Länge der Feder zunimmt und ihre Dicke abnimmt, nimmt der Elastizitätskoeffizient ab.

Elastizitätsmodul und Elastizitätskoeffizient

Bei Längsverformung, bei einseitiger Zugspannung (Druck), ist das Maß der Verformung die relative Dehnung, die mit oder bezeichnet wird. In diesem Fall wird der Elastizitätsmodul wie folgt bestimmt:

wo ist der Elastizitätsmodul, der im betrachteten Fall gleich dem Elastizitätsmodul () ist und die elastischen Eigenschaften des Körpers charakterisiert; — anfängliche Körperlänge; — Längenänderung unter Belastung. Wenn S die Querschnittsfläche der Probe ist.

Elastizitätskoeffizient einer gedehnten (komprimierten) Feder

Wenn eine Feder entlang der X-Achse gedehnt (komprimiert) wird, lautet das Hookesche Gesetz wie folgt:

wo ist der Modul der Projektion der elastischen Kraft; — Elastizitätskoeffizient der Feder, — Dehnung der Feder. Dann ist der Elastizitätskoeffizient die Kraft, die auf die Feder ausgeübt werden muss, um ihre Länge um eins zu ändern.

Maßeinheiten

Die grundlegende Maßeinheit für den Elastizitätskoeffizienten im SI-System ist:

Beispiele für Problemlösungen

BEISPIEL 1

BEISPIEL 2

Hast du in der Schule gut Physik gelernt? Kennen Sie die grundlegenden physikalischen Gesetze und könnten Sie beispielsweise einfach die Steifigkeit einer Feder berechnen? Beginnen wir mit theoretischem Wissen. Die Federsteifigkeit ist ein Koeffizient, der die Dehnung eines elastischen Körpers und die aus dieser Dehnung resultierende elastische Kraft in Beziehung setzt. Die Federsteifigkeit wird auch Elastizitätskoeffizient oder Hookescher Koeffizient genannt, da sich die Federsteifigkeit speziell auf das Hookesche Gesetz bezieht. Was ist die elastische Kraft, die in diesem Gesetz erwähnt wird? Eine elastische Kraft ist eine Kraft, die bei der Verformung eines Körpers auftritt und dieser Verformung entgegenwirkt.

Mathematische Methode

Wie bestimmt man die Federsteifigkeit oder, in der Terminologie einer Wissenschaft wie der Physik, den Federsteifigkeitskoeffizienten? Dazu müssen Sie eine einfache Formel kennen, nach der die Federsteifigkeit berechnet wird. Diese Formel, oder besser gesagt das Hookesche Gesetz, sieht folgendermaßen aus: F=|kx|, wobei k der Elastizitätskoeffizient der Feder ist, x die Dehnung der Feder oder, wie es auch genannt wird, das Ausmaß der Verformung der Feder Frühling. Und der mit dem Buchstaben F bezeichnete Wert ist dementsprechend die elastische Kraft, die wir berechnen. Um die Federsteifigkeit herauszufinden, müssen Sie die beiden anderen in der Formel angegebenen Größen unter Verwendung standardmäßiger mathematischer Gesetze messen. Als nächstes müssen Sie nur noch die Gleichung mit einer Unbekannten lösen.

Erfahrene Methode

Um zu verstehen, wie man die Federsteifigkeit ermittelt bzw. den Federsteifigkeitskoeffizienten experimentell bestimmt, sollten die folgenden Manipulationen durchgeführt werden. Sie müssen den Körper verformen, indem Sie Kraft auf ihn ausüben. Die einfachste Art der Verformung ist Druck oder Zug. Der Steifigkeitskoeffizient gibt genau an, wie viel Kraft auf einen Körper ausgeübt werden muss, um ihn pro Längeneinheit elastisch zu verformen. Wir sprechen jetzt von elastischer Verformung, wenn ein Körper nach einem Stoß seine ursprüngliche Form annimmt. Um dieses visuelle Experiment durchzuführen, benötigen Sie Folgendes:

• Kalkulator,
• Stift,
• Notizbuch,
• Frühling,
• Herrscher,
• Ladung.

Befestigen Sie also ein Ende der Feder vertikal und lassen Sie das andere frei. Messen Sie die Länge der Feder und notieren Sie das Ergebnis in Ihrem Notizbuch (dies ist der Wert x1). Hängen Sie eine Last mit einem Gewicht von einhundert Gramm an das freie Ende der Feder, messen Sie erneut die Länge der Feder und notieren Sie den Wert (x2). Berechnen Sie die absolute Dehnung der Feder (Differenz zwischen x1 und x2). Bei kleinen Kompressionen und Dehnungen ist die elastische Kraft proportional zur Verformung. Hier wenden wir bereits das Hookesche Gesetz an, nach dem Fcontrol = |kx|, wobei k der Steifigkeitskoeffizient ist. Um den benötigten Steifigkeitskoeffizienten zu ermitteln, müssen wir die Zugkraft durch die Dehnung der Feder dividieren. Die Zugkraft ermitteln wir wie folgt: Fupr = - N = -mg. Daraus folgt mg = kx. Das bedeutet k = mg/x. Dann ist alles ganz einfach: Setzen Sie die Ihnen bekannten Werte in die Formel ein und ermitteln Sie die Federsteifigkeit.

Definition 1

Eine Feder ist ein elastisches Objekt, das gezielt einer Kompression oder Dehnung ausgesetzt wird, wodurch es Energie speichern und diese dann, wenn die äußere Verformungskraft nachlässt, wieder abgeben kann. Federn sollten unter normalen Bedingungen keinen bleibenden (plastischen) Verformungen unterliegen, d. h. solche Einflüsse, nach denen die Form des Produkts aufgrund einer Störung der Struktur ihres Materials nicht mehr wiederhergestellt wird.

Arten von Federn

Federn können nach der Richtung der aufgebrachten Belastung klassifiziert werden:

• Zugfedern; entworfen, um im Dehnungsmodus zu arbeiten; wenn sie verformt werden, nimmt ihre Länge zu; In der Regel verfügen solche Geräte über einen Nullschritt, d.h. Wunde „umdrehen“; Ein Beispiel wären Federn in Waagen, Federn zum automatischen Schließen von Türen usw.;
• Druckfedern hingegen verkürzen sich unter Belastung; Im Ausgangszustand gibt es einen gewissen Abstand zwischen ihren Windungen, wie zum Beispiel bei Stoßdämpfern für Autoaufhängungen.

In diesem Artikel geht es um Federn, bei denen es sich um zylindrische Spiralen handelt. Viele andere Arten von elastischen Vorrichtungen werden in der Technik verwendet: Federn in Form flacher Spiralen (verwendet in mechanischen Uhren), in Form von Streifen (Federn), Torsionsfedern (in Präzisionswaagen), Tellerfedern (komprimierbare konische Flächen), usw. Eine Art Federn sind stoßdämpfende Produkte aus polymerelastischen Materialien, hauptsächlich Gummi. Alle diese Geräte nutzen das gleiche Prinzip: Sie speichern die Energie der elastischen Verformung und geben sie zurück.

Physikalische Eigenschaften von Federn

Schraubenfedern zeichnen sich durch eine Reihe von Parametern aus, deren Kombination ihre Steifigkeit bestimmt – die Fähigkeit, Verformungen zu widerstehen:

1. Material; Federn bestehen meist aus Stahldraht und der verwendete Stahl ist besonders; er zeichnet sich durch einen mittleren oder hohen Kohlenstoffgehalt, einen geringen Gehalt an anderen Verunreinigungen (niedriglegierte Legierung) und eine spezielle Wärmebehandlung (Härtung) aus Material zusätzliche Elastizität;
2. Drahtdurchmesser; je kleiner es ist, desto elastischer ist die Feder, aber desto geringer ist ihre Fähigkeit, Energie zu speichern; Druckfedern bestehen normalerweise aus dickerem Draht als Zugfedern.
3. Drahtabschnittsform; der Draht, aus dem die Feder gewickelt ist, hat nicht immer einen runden Querschnitt; Druckfedern haben einen abgeflachten Querschnitt, so dass bei maximaler Längenreduzierung (die Spule „sitzt“ auf der benachbarten Spule) die Struktur stabiler ist;
4. Federlänge und -durchmesser; die Länge der Feder sollte von der Länge des Drahtes unterschieden werden, aus dem sie gewickelt ist; Diese beiden Parameter stimmen über die Anzahl der Windungen und den Durchmesser der Feder überein, der wiederum nicht mit dem Durchmesser des Drahtes verwechselt werden sollte.

Es gibt noch andere physikalische Eigenschaften, die die Leistung von Federn beeinflussen. Wenn beispielsweise die Temperatur steigt, wird das Metall weniger elastisch, und wenn sie deutlich abnimmt, kann es spröde werden. Bei intensiver Nutzung verliert die Feder mit der Zeit durch die allmähliche Zerstörung der Bindungen zwischen den Atomen des Kristallgitters einen Teil ihrer Elastizität.

Konzept der Starrheit

Definition 2

Härte wie physikalische Größe charakterisiert die Kraft, die auf die Feder ausgeübt werden muss, um einen bestimmten Grad an Dehnung oder Kompression zu erreichen.

Der Steifigkeitskoeffizient wird nach der Hookeschen Formel berechnet:

$F = -k \cdot x$,

Dabei ist $F$ die von der Feder entwickelte Kraft, $k$ der von ihren Eigenschaften abhängige Steifigkeitskoeffizient (siehe oben) und wird in Newton pro Meter gemessen, $x$ ist das absolute Inkrement des Abstands, um den die Länge der Feder entsteht Die Feder hat sich nach Einwirkung einer äußeren Kraft verändert. Das Minuszeichen auf der rechten Seite der Formel zeigt an, dass die von der Feder erzeugte Kraft in die entgegengesetzte Richtung zur Last wirkt.

Der Steifigkeitskoeffizient kann experimentell berechnet werden, indem Gewichte mit bekannter Masse an einer vertikal angeordneten und am oberen Ende befestigten Feder aufgehängt werden. In diesem Fall liegt eine Abhängigkeit vor

$m \cdot g - k \cdot x = 0$,

Dabei ist $m$ die Masse und $g$ die Gravitationsbeschleunigung. Von hier

$k = \frac(m \cdot g)(x)$

Berechnung der Steifigkeit einer zylindrischen Feder

Es ist ziemlich einfach zu verstehen, wie eine Flachfeder funktioniert. Legt man ein Lineal auf die Schreibtischkante und drückt ein Ende davon mit der Hand auf die Oberfläche, lässt sich das andere Ende elastisch biegen und so Energie speichern und abgeben. Es ist offensichtlich, dass im Moment der Biegung die Abstände zwischen den Molekülen des Materials in einigen Fragmenten des Lineals zunehmen, in anderen abnehmen. Elektromagnetische Bindungen zwischen Molekülen neigen dazu, die Substanz in ihren vorherigen geometrischen Zustand zurückzubringen.

Bei einer zylindrischen Feder ist die Situation etwas komplizierter. Die darin gespeicherte Energie entsteht nicht durch Biegeverformung, sondern durch die Verdrehung des Drahtes, aus dem die Feder gewickelt ist, relativ zur Längsachse dieses Drahtes.

Stellen wir uns einen stark vergrößerten Querschnitt des Drahtes vor, aus dem eine zylindrische Feder gewickelt ist, der durch eine Ebene senkrecht zu seiner Achse entsteht. Mit dieser Überlegung kann man von der Spiralform abstrahieren und das gesamte Volumen des Drahtes gedanklich in eine Reihe von „Zylindern“ unterteilen, die ihre Endflächen berühren und deren Durchmesser dem Durchmesser des Drahtes entspricht, und die Höhe tendiert dazu null. Zwischen den Kontaktenden wirken Molekularkräfte, die eine Verformung verhindern.

Wenn die Feder gedehnt oder gestaucht wird, ändert sich der Neigungswinkel zwischen den Windungen. Benachbarte „Zylinder“ drehen sich relativ zueinander in entgegengesetzte Richtungen um eine gemeinsame Achse. In jedem dieser Abschnitte wird Energie gespeichert. Daraus folgt: Je länger das Drahtstück ist, aus dem die Feder gewickelt ist (hier spielen Durchmesser und Höhe des Zylinders sowie die Steigung der Spule eine Rolle), desto mehr Energie kann sie speichern. Durch die Vergrößerung des Drahtdurchmessers erhöht sich auch dessen Energieintensität. Im Allgemeinen sieht die Formel, die die Hauptfaktoren der Federsteifigkeit berücksichtigt, wie folgt aus:

$k = \frac(r^4)(4R^3) \cdot \frac(G)(n)$,

• $R$ ist der Radius des Federzylinders,
• $n$ - Anzahl der Drahtwindungen mit Radius $r$,
• $G$ ist ein vom Material abhängiger Koeffizient.

Ersetzen wir numerische Werte in die Formel und konvertieren sie gleichzeitig in SI-Einheiten:

$k = \frac((10^(-3))^4)(4 \cdot (2 \cdot 10^(-2))^3) \cdot \frac(8 \cdot 10^(10))( 25) = \frac(8 \cdot 10^(-2))(10^2 \cdot 2^3 \cdot 10^(-6)) = 100$

Antwort: $100 \frac(N)(m)$

I. Federsteifigkeit

Was ist Federsteifigkeit? ?
Einer von die wichtigsten Parameter, bezogen auf elastische Metallprodukte für verschiedene Zwecke, ist die Federsteifigkeit. Sie gibt an, wie widerstandsfähig die Feder gegenüber dem Einfluss anderer Körper ist und wie stark sie diesen widersteht, wenn sie ihnen ausgesetzt wird. Die Widerstandskraft ist gleich der Federkonstante.

Welchen Einfluss hat dieser Indikator?
Eine Feder ist ein ziemlich elastisches Produkt, das die Übertragung translatorischer Drehbewegungen auf die Geräte und Mechanismen gewährleistet, in denen sie sich befindet. Man muss sagen, dass Federn überall zu finden sind; jeder dritte Mechanismus im Haus ist mit einer Feder ausgestattet, ganz zu schweigen von der Anzahl dieser elastischen Elemente in Industriegeräten. In diesem Fall wird die Zuverlässigkeit des Betriebs dieser Geräte durch den Grad der Federsteifigkeit bestimmt. Dieser Wert, Federkonstante genannt, hängt von der Kraft ab, die aufgebracht werden muss, um die Feder zusammenzudrücken oder zu dehnen. Das Aufrichten der Feder in ihren ursprünglichen Zustand wird durch das Metall bestimmt, aus dem sie besteht, nicht jedoch durch den Grad der Steifigkeit.

Wovon hängt dieser Indikator ab?
Ein so einfaches Element wie eine Feder hat je nach Verwendungszweck viele Varianten. Je nach Art und Weise der Verformungsübertragung auf den Mechanismus und die Form werden spiralförmige, konische, zylindrische und andere unterschieden. Daher wird die Steifigkeit eines bestimmten Produkts auch durch die Art der Verformungsübertragung bestimmt. Die Verformungscharakteristik unterteilt Federprodukte in Torsions-, Druck-, Biege- und Zugfedern.

Wenn im Gerät zwei Federn gleichzeitig verwendet werden, hängt der Grad ihrer Steifigkeit von der Befestigungsmethode ab. Bei Parallelschaltung im Gerät erhöht sich die Federsteifigkeit, bei Reihenschaltung nimmt sie ab.

II. Federsteifigkeitskoeffizient

Federsteifigkeitskoeffizient und Federprodukte ist einer der wichtigsten Indikatoren, der die Lebensdauer des Produkts bestimmt. Um den Steifigkeitskoeffizienten manuell zu berechnen, gibt es eine einfache Formel (siehe Abb. 1) und Sie können auch unseren Federrechner verwenden, der Ihnen ganz einfach bei der Durchführung aller notwendigen Berechnungen hilft. Allerdings hat die Federsteifigkeit nur indirekt Einfluss auf die Lebensdauer der gesamten Mechanik – andere qualitative Merkmale des Gerätes werden von größerer Bedeutung sein.