Das Prinzip möglicher Bewegungen. Allgemeine Gleichung der Dynamik. Berechnung der Stützreaktion nach dem Prinzip möglicher Bewegungen Das Prinzip möglicher Bewegungen mechanischer Systeme

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Grundsatz 4: Medikamente sollten nur dann eingenommen werden, wenn das Risiko einer Nichteinnahme das Risiko möglicher Nebenwirkungen überwiegt.

Grundsatz 4: Medikamente sollten nur dann eingenommen werden, wenn das Risiko einer Nichteinnahme das Risiko möglicher Nebenwirkungen überwiegt. Mit anderen Worten: Sie müssen das Risiko gegenüber dem Nutzen abwägen. Jedes Medikament kann nicht nur für Sie nützlich sein

Das Prinzip der möglichen Verschiebungen ermöglicht es, verschiedenste Probleme des Gleichgewichts mechanischer Systeme zu lösen – unbekannte Wirkkräfte zu finden, die Reaktionen von Verbindungen zu bestimmen, die Gleichgewichtslagen eines mechanischen Systems unter dem Einfluss einer angelegten Kraft zu finden System der Kräfte. Lassen Sie uns dies anhand konkreter Beispiele veranschaulichen.

Beispiel 1. Finden Sie die Größe der Kraft P, die schwere glatte Prismen mit Massen im Gleichgewichtszustand hält. Der Abschrägungswinkel der Prismen ist gleich (Abb. 73).

Lösung. Nutzen wir das Prinzip der möglichen Bewegungen. Informieren wir das System über die mögliche Verschiebung und berechnen die mögliche Arbeit der aktiven Kräfte:

Die mögliche durch die Schwerkraft verrichtete Arbeit ist Null, da die Kraft senkrecht zum Vektor der Elementarverschiebung des Kraftangriffspunkts steht. Wenn wir den Wert hier einsetzen und den Ausdruck mit Null gleichsetzen, erhalten wir:

Da ist der Ausdruck in Klammern gleich Null:

Von hier aus finden wir

Beispiel 2. Ein homogener Balken AB der Länge und des Gewichts P, belastet durch ein Kräftepaar mit einem gegebenen Moment M, wird wie in Abb. gezeigt befestigt. 74 und ruht. Bestimmen Sie die Reaktion des Stabes BD, wenn er mit der Horizontalen einen Winkel a bildet.

Lösung. Die Aufgabe unterscheidet sich von der vorherigen dadurch, dass es hier darum geht, die Reaktion einer idealen Verbindung zu finden. Die Reaktion idealer Verbindungen geht jedoch nicht in die Arbeitsgleichung ein, die das Prinzip möglicher Bewegungen ausdrückt. In solchen Fällen sollte der Grundsatz der Bewegungsfreiheit in Verbindung mit dem Grundsatz der Bindungsfreiheit zur Anwendung kommen.

Lassen Sie uns gedanklich den Stab BD verwerfen und seine Reaktion S als eine aktive Kraft unbekannter Größe betrachten. Danach informieren wir das System über die mögliche Bewegung (vorausgesetzt, diese Verbindung fehlt vollständig). Dies ist eine elementare Drehung des Balkens AB um einen Winkel um die Scharnierachse A in die eine oder andere Richtung (in Abb. 74 - gegen den Uhrzeigersinn). Die Elementarverschiebungen der Angriffspunkte der wirkenden Kräfte und die ihnen zugeschriebene Reaktion S sind gleich:

Wir erstellen eine Arbeitsgleichung

Wenn wir den Ausdruck in Klammern mit Null gleichsetzen, finden wir

Beispiel 3. Ein homogener Stab OA wird durch das Gewicht mit einem zylindrischen Scharnier O und einer Feder AB fixiert (Abb. 75). Bestimmen Sie die Positionen, in denen sich der Stab im Gleichgewicht befinden kann, wenn die Federsteifigkeit gleich k, der natürlichen Länge der Feder, ist und Punkt B auf derselben Vertikalen wie Punkt O liegt.

Lösung. Auf den Stab OA wirken zwei aktive Kräfte ein – sein Eigengewicht und die elastische Kraft der Feder, wobei es sich um den Winkel handelt, den der Stab mit der Vertikalen OB bildet. Ideal sind die übereinanderliegenden Verbindungen (in diesem Fall gibt es nur eine Verbindung – Scharnier O).

Lassen Sie uns das System der möglichen Bewegung informieren – eine elementare Drehung der Stange um die Scharnierachse O um einen Winkel , berechnen wir die mögliche Arbeit der aktiven Kräfte und setzen sie mit Null gleich:

Ersetzen Sie hier den Ausdruck für die Kraft F und den Wert

Nach einfachen Umrechnungen erhalten wir die folgende trigonometrische Gleichung zur Bestimmung des Winkels (p, wenn sich der Stab im Gleichgewicht befindet:

Die Gleichung definiert drei Werte für den Winkel:

Folglich hat der Stab drei Gleichgewichtspositionen. Da die ersten beiden Gleichgewichtslagen vorliegen, wenn die Bedingung erfüllt ist. Gleichgewicht besteht immer.

Abschließend stellen wir fest, dass das Prinzip der möglichen Bewegungen auch auf Systeme mit nichtidealen Zusammenhängen anwendbar ist. Die Betonung der Idealität von Verbindungen wird bei der Formulierung des Prinzips mit einem einzigen Zweck vorgenommen – zu zeigen, dass die Gleichgewichtsgleichungen mechanischer Systeme erstellt werden können, ohne die Reaktionen idealer Verbindungen einzubeziehen, wodurch die Berechnungen vereinfacht werden.

Für Systeme mit nichtidealen Verbindungen sollte das Prinzip der möglichen Verschiebungen wie folgt umformuliert werden: Für das Gleichgewicht eines mechanischen Systems mit Halteverbindungen, unter denen es nichtideale Verbindungen gibt, ist es notwendig und ausreichend, dass die mögliche Arbeit aktiver Kräfte und Reaktionen von nichtideale Verbindungen gleich Null sein. Auf eine Umformulierung des Prinzips und eine bedingte Klassifizierung der Reaktionen nichtidealer Zusammenhänge zwischen den wirkenden Kräften kann jedoch verzichtet werden.

Fragen zum Selbsttest

1. Was ist das Hauptmerkmal eines nichtfreien mechanischen Systems im Vergleich zu einem freien?

2. Was ist mögliche Bewegung? Nennen Sie Beispiele.

3. Wie werden Variationen der Koordinaten von Punkten im System während seiner möglichen Bewegung bestimmt (drei Methoden angeben)?

4. Wie werden Verbindungen nach der Art ihrer Gleichungen klassifiziert? Nennen Sie Beispiele für begrenzende und nicht umschließende Verbindungen, stationäre und instationäre.

5. In welchem ​​Fall heißt die Verbindung ideal? Unvollkommen?

6. Geben Sie eine verbale Formulierung und mathematische Notation des Prinzips möglicher Bewegungen an.

7. Wie wird das Prinzip der möglichen Verschiebungen für Systeme formuliert, die nichtideale Verbindungen enthalten?

8. Listen Sie die wichtigsten Arten von Problemen auf, die mit dem Prinzip der möglichen Verschiebungen gelöst werden.

Übungen

Lösen Sie unter Verwendung des Prinzips der möglichen Verschiebungen die folgenden Probleme aus der Sammlung von I.V. Meshchersky 1981 Ausgabe: 46,1; 46,8; 46,17; 2,49; 4.53.

Wie aus der theoretischen Mechanik bekannt, kann der Gleichgewichtszustand eines Objekts eine Kraft- oder Energieformulierung haben. Die erste Option stellt die Bedingung dar, dass der Hauptvektor und das Hauptmoment aller auf den Körper wirkenden Kräfte und Reaktionen gleich Null sind. Der zweite Ansatz (Variationalansatz), genannt Prinzip der möglichen Verschiebungen, erwies sich als sehr nützlich zur Lösung einer Reihe von Problemen der Strukturmechanik.

Für ein System absolut starrer Körper wird das Prinzip der möglichen Verschiebungen wie folgt formuliert: Befindet sich ein System absolut starrer Körper im Gleichgewicht, dann ist die Summe der Arbeit aller äußeren Kräfte an jeder möglichen infinitesimalen Verschiebung Null. Möglich (oder virtuell) ist eine Bewegung, die die kinematischen Verbindungen und die Kontinuität von Körpern nicht verletzt. Für das System in Abb. 3.1 ist nur eine Drehung der Stange relativ zum Träger möglich. Beim Drehen um einen beliebigen kleinen Winkel wirken die Kräfte und wirken Nach dem Prinzip der möglichen Verschiebungen gilt: Wenn das System im Gleichgewicht ist, dann muss es auch ein Gleichgewicht geben . Ersetzen Sie hier die geometrischen Beziehungen Die Gleichgewichtsbedingung erhalten wir in der Kraftformulierung

Das Prinzip der möglichen Verschiebungen für elastische Körper lässt sich wie folgt formulieren: Befindet sich ein System elastischer Körper im Gleichgewicht, dann ist die Summe der Arbeit aller äußeren und inneren Kräfte auf jede mögliche infinitesimale Verschiebung Null. Dieses Prinzip basiert auf dem Konzept der Gesamtenergie eines elastisch verformten Systems P. Wenn die Struktur statisch belastet wird, ist diese Energie gleich der Arbeit, die von äußeren U- und inneren W-Kräften geleistet wird, wenn das System von einem verformten Zustand in einen verformten Zustand überführt wird sein ursprünglicher Zustand:

Bei der angegebenen Übersetzung ändern äußere Kräfte ihren Wert nicht und leisten negative Arbeit U= -F. In diesem Fall werden die inneren Kräfte auf Null reduziert und leisten positive Arbeit, da es sich um Adhäsionskräfte von Materialpartikeln handelt, die der äußeren Belastung entgegengerichtet sind:

Wo - spezifische potentielle Energie der elastischen Verformung; V ist das Volumen des Körpers. Für ein lineares System, wobei . Nach dem Satz von Lagrange-Dirichlet entspricht der Zustand des stabilen Gleichgewichts dem Minimum der gesamten potentiellen Energie des elastischen Systems, d.h.

Die letzte Gleichheit entspricht voll und ganz der Formulierung des Prinzips möglicher Bewegungen. Für mögliche Verschiebungen (Abweichungen) des elastischen Systems vom Gleichgewichtszustand können Energiezuwächse dU und dW berechnet werden. Um Strukturen zu berechnen, die Linearitätsanforderungen erfüllen, kann die unendlich kleine mögliche Verschiebung d durch eine sehr kleine Endverschiebung ersetzt werden, bei der es sich um einen beliebigen deformierten Zustand der Struktur handeln kann, der durch ein willkürlich gewähltes Kräftesystem erzeugt wird. Unter Berücksichtigung dessen sollte die resultierende Gleichgewichtsbedingung wie folgt geschrieben werden:

Arbeit äußerer Kräfte

Betrachten wir die Methodik zur Berechnung der Arbeit äußerer Kräfte anhand der tatsächlichen und möglichen Verschiebung. Das Stabsystem wird mit Kräften belastet und (Abb. 3.2, a), die gleichzeitig wirken und zu jedem Zeitpunkt das Verhältnis konstant bleibt. Wenn wir es als verallgemeinerte Kraft betrachten, können wir aus dem Wert jederzeit alle anderen Lasten (in diesem Fall) berechnen. Die gestrichelte Linie zeigt die tatsächliche elastische Verschiebung, die sich aus diesen Kräften ergibt. Diesen Zustand bezeichnen wir mit dem Index 1. Die Bewegung der Kraftangriffspunkte und in Richtung dieser Kräfte im Zustand 1 bezeichnen wir mit und .

Bei der Belastung eines linearen Systems mit Kräften nehmen die Kräfte und die Verschiebungen proportional zu ihnen zu (Abb. 3.2, c). Die tatsächliche Arbeit der Kräfte und der von ihnen erzeugten Verschiebungen ist gleich der Summe der Flächen der Diagramme, d. h. . Schreiben Sie diesen Ausdruck als erhalten wir das Produkt aus der verallgemeinerten Kraft und der verallgemeinerten Verschiebung. In diesem Formular können Sie einreichen

Als nächstes betrachten wir die Wirkung äußerer Kräfte auf eine mögliche Verschiebung. Als mögliche Verschiebung nehmen wir beispielsweise den verformten Zustand des Systems, der durch die Einwirkung einer Kraft an einem bestimmten Punkt entsteht (Abb. 3.2, b). Dieser Zustand, der der zusätzlichen Bewegung der Kraftangriffspunkte entspricht und im Abstand und , wird mit 2 bezeichnet. Die Kräfte und , ohne ihren Wert zu ändern, leisten virtuelle Arbeit an den Verschiebungen und (Abb. 3.2, c) :

Wie Sie sehen, zeigt der erste Index in der Bewegungsbezeichnung den Zustand an, in dem die Punkte und Richtungen dieser Bewegungen angegeben sind. Der zweite Index zeigt den Zustand an, in dem die Kräfte wirken, die diese Bewegung verursachen.

Arbeit der Einheitskraft F 2 auf die tatsächliche Verschiebung

Wenn wir Zustand 1 als mögliche Verschiebung für die Kraft F 2 betrachten, dann ist ihre virtuelle Verschiebungsarbeit

Arbeit der inneren Kräfte

Ermitteln wir die Arbeit der inneren Kräfte des Zustands 1, d. h. der Kräfte und , auf die virtuellen Verschiebungen des Zustands 2, d. h. die aus der Anwendung der Last F 2 resultieren. Wählen Sie dazu ein Stabelement mit der Länge dx (Abb. 3.2 und 3.3, a). Da das betrachtete System flach ist, wirken in den Abschnitten des Elements nur zwei Kräfte S und Q z sowie ein Biegemoment Mu. Diese Kräfte sind für das geschnittene Element äußerer Natur. Innere Kräfte sind die Adhäsionskräfte, die für die Festigkeit des Materials sorgen. Sie haben den gleichen Wert wie die äußeren, sind jedoch in die der Verformung entgegengesetzte Richtung gerichtet, daher ist ihre Arbeit unter Belastung negativ (Abb. 3.3, b-d, grau dargestellt). Berechnen wir nacheinander die von jedem Kraftfaktor geleistete Arbeit.

Die Arbeit der Längskräfte an der Verschiebung, die durch Kräfte S 2 erzeugt wird, die aus der Aufbringung der Last F 2 resultieren (Abb. 3.2, b, 3.3, b),

Die Dehnung eines Stabes mit der Länge dx ermitteln wir mit der bekannten Formel

wobei A die Querschnittsfläche des Stabes ist. Wenn wir diesen Ausdruck in die vorherige Formel einsetzen, finden wir

Auf ähnliche Weise bestimmen wir die Arbeit, die das Biegemoment an der durch das Moment erzeugten Winkelverschiebung leistet (Abb. 3.3, c):

Wir finden den Drehwinkel als

Dabei ist J das Trägheitsmoment des Stabquerschnitts relativ zur y-Achse. Nach der Auswechslung bekommen wir

Ermitteln wir die Arbeit, die die Querkraft bei der Verschiebung verrichtet (Abb. 3.3, d). Tangentialspannungen und Scherungen aus der Scherkraft Q z verteilen sich nicht linear über den Stabquerschnitt (im Gegensatz zu Normalspannungen und Dehnungen in bisherigen Belastungsfällen). Um die Scherarbeit zu bestimmen, muss daher die durch die Tangentialspannungen in den Schichten des Stabes geleistete Arbeit berücksichtigt werden.

Tangentialspannungen aus der Kraft Q z, die in einer Schicht wirken, die im Abstand z von der neutralen Achse liegt (Abb. 3.3, d), werden nach der Zhuravsky-Formel berechnet

wobei Su das statische Moment des über dieser Schicht liegenden Teils der Querschnittsfläche relativ zur y-Achse ist; b ist die Breite des Abschnitts auf der Ebene der betrachteten Schicht. Diese Spannungen bewirken eine Verschiebung der Schicht um einen Winkel, der nach dem Hookeschen Gesetz definiert ist als - Schubmodul. Dadurch wird das Ende der Ebene um verschoben

Die Gesamtarbeit, die die am Ende dieser Schicht wirkenden Tangentialspannungen des ersten Zustands auf die Verschiebungen des zweiten Zustands verrichten, wird durch Integration des Produkts der Querschnittsfläche berechnet

Nachdem wir hier die Ausdrücke für und eingesetzt haben, erhalten wir

Subtrahieren wir von den ganzzahligen Größen, die nicht von z abhängen, multiplizieren und dividieren wir diesen Ausdruck mit A, wir erhalten

Hier wird ein dimensionsloser Koeffizient eingeführt,

abhängig nur von der Konfiguration und dem Verhältnis der Abschnittsgrößen. Für ein Rechteck = 1,2, für I-Träger und Kastenabschnitte (A c ist die Querschnittsfläche der Wand oder in einem Kastenabschnitt - zwei Wände).

Da die Arbeit jeder der betrachteten Belastungskomponenten (S, Q, M) auf Verschiebungen, die durch andere Komponenten verursacht werden, gleich Null ist, beträgt die Gesamtarbeit aller Schnittgrößen für das betrachtete Stabelement der Länge dx

Im Querschnitt eines Elements eines räumlichen Stabsystems gibt es sechs Schnittgrößen (S, Q, Q z, M x, Mu, M 2), daher hat der Ausdruck für die Gesamtarbeit der Schnittgrößen dafür die Form ,

Dabei ist M x das Drehmoment in der Stange; J T ist das Trägheitsmoment des Stabes bei freier Torsion (geometrische Torsionssteifigkeit). Im Integranden entfallen die Indizes „und“.

In den Formeln (3.3) und (3.4) S v Q yV Q zl , M x1 , M y1 , M g1 bezeichnen analytische Ausdrücke für Diagramme von Schnittgrößen aus der Wirkung der Kräfte F(und F(,aS 2 , Q y 2 , Q z 2 , M x2, M y2, M g2 - Beschreibungen der Diagramme der Schnittgrößen aus der Kraft F 2.

Sätze über elastische Systeme

Die Struktur der Formeln (3.3) und (3.4) zeigt, dass sie in Bezug auf die Zustände 1 und 2 „symmetrisch“ sind, d. h. die Arbeit der inneren Kräfte von Zustand 1 auf die Verschiebungen von Zustand 2 ist gleich der Arbeit der inneren Kräfte von Zustand 2 auf die Verschiebungen von Zustand 1 Aber gemäß (3.2)

Wenn also die Arbeit der inneren Kräfte gleich ist, dann ist auch die Arbeit der äußeren Kräfte gleich. Diese Aussage wird als Satz über die Reziprozität der Arbeit bezeichnet (Satz von Betti, 1872).

Für ein mit der Kraft F 1 belastetes Stabsystem (Abb. 3.4, a) nehmen wir als mögliche Verschiebung den deformierten Zustand an, der bei Belastung mit der Kraft F 2 (Abb. 3.4, b) eintrat. Für dieses System gilt gemäß Bettis Theorem 1: Wenn wir setzen, erhalten wir

Diese Formel drückt den Satz von Maxwell (1864) über die Reziprozität von Verschiebungen aus: Die Verschiebung des Angriffspunkts der ersten Einheitskraft in ihrer Richtung, verursacht durch die Wirkung der zweiten Einheitskraft, ist gleich der Verschiebung des Angriffspunkts der zweiten Krafteinheit in ihrer Richtung, verursacht durch die Wirkung der ersten Krafteinheit. Dieser Satz kann auch auf das System in Abb. angewendet werden. 3.2. Wenn wir = 1 N setzen (Abschnitt 3.1.2), erhalten wir die Gleichheit der verallgemeinerten Verschiebungen .

Betrachten wir ein statisch unbestimmtes System mit Stützen, mit denen sich die erforderliche, als möglich angenommene Bewegung einstellen lässt (Abb. 3.4, c, d). Im ersten Zustand verschieben wir die Stütze 1 um und im zweiten - stellen wir die Drehung der Einbettung um einen Winkel ein - In diesem Fall treten im ersten Zustand Reaktionen auf und , und im zweiten - ich . Nach dem Reziprozitätssatz der Arbeit schreiben wir: Wenn wir setzen (hier ist die Dimension = m und die Menge ist dimensionslos), dann erhalten wir

Diese Gleichheit ist numerisch, da die Dimension der Reaktion = N, a = N-m. Somit ist die Reaktion R 12 in der festen Bindung 1, die auftritt, wenn sich Bindung 2 um eins bewegt, numerisch gleich der Reaktion, die in Bindung 2 mit einer Einheitsverschiebung von Bindung 1 auftritt. Diese Aussage wird als Satz über die Reziprozität von Reaktionen bezeichnet .

Die in diesem Abschnitt vorgestellten Theoreme werden zur analytischen Berechnung statisch unbestimmter Systeme verwendet.

Definition von Bewegungen

Allgemeine Verschiebungsformel

Um die Verschiebungen zu berechnen, die im Stabsystem unter Einwirkung einer bestimmten Last auftreten (Zustand 1), sollte ein Hilfszustand des Systems erstellt werden, in dem eine Einheitskraft wirkt und an der gewünschten Verschiebung arbeitet (Zustand 2). Dies bedeutet, dass bei der Bestimmung der linearen Verschiebung eine Einheitskraft F 2 = 1 N angegeben werden muss, die am gleichen Punkt und in der gleichen Richtung wirkt, in der die Verschiebung bestimmt werden soll. Wenn der Drehwinkel eines Abschnitts bestimmt werden muss, wird auf diesen Abschnitt ein Einheitsmoment F 2 = 1 N m angewendet. Anschließend wird die Energiegleichung (3.2) aufgestellt, in der Zustand 2 angenommen wird der Hauptzustand und der deformierte Zustand

Zustand 1 wird als virtuelle Bewegung betrachtet. Aus dieser Gleichung wird die erforderliche Verschiebung berechnet.

Lassen Sie uns die horizontale Verschiebung von Punkt B für das System in Abb. ermitteln. 3.5, a. Damit die erforderliche Verschiebung D 21 in die Arbeitsgleichung (3.2) eingeht, nehmen wir als Grundzustand die Verschiebung des Systems unter Einwirkung einer Einheitskraft F 2 - 1 N (Zustand 2, Abb. 3.5). , B). Als mögliche Verschiebung betrachten wir den tatsächlichen Verformungszustand der Struktur (Abb. 3.5, a).

Die Arbeit äußerer Kräfte von Zustand 2 auf Verschiebungen von Zustand 1 finden wir wie folgt: Nach (3.2)

daher die erforderliche Verschiebung

Seit (Abschnitt 3.1.4) wird die Arbeit der Schnittgrößen von Zustand 2 auf die Verschiebungen von Zustand 1 mit der Formel (3.3) oder (3.4) berechnet. Wenn wir den Ausdruck (3.3) in (3.7) für die Arbeit der Schnittgrößen eines Flachstabsystems einsetzen, finden wir

Für die weitere Verwendung dieses Ausdrucks empfiehlt es sich, das Konzept der Einzeldiagramme der Schnittgrößenfaktoren einzuführen, d.h. von denen die ersten beiden dimensionslos sind, und die Dimension . Das Ergebnis wird sein

In diese Integrale sollten Ausdrücke für Verteilungsdiagramme der entsprechenden Schnittgrößen der einwirkenden Last eingesetzt werden Und und von Kraft F 2 = 1. Der resultierende Ausdruck wird Mohrs Formel genannt (1881).

Bei der Berechnung räumlicher Stabsysteme sollte die Formel (3.4) verwendet werden, um die Gesamtarbeit der Schnittkräfte zu berechnen

Es ist ganz offensichtlich, dass Ausdrücke für Diagramme der Schnittgrößen S, Q y, Q z, M x, M y, M g und die Werte der geometrischen Eigenschaften der Abschnitte A, J t, Jу, J, für die entsprechende n-ten Abschnitt werden in die Integrale eingesetzt. Um die Schreibweise bei der Notation dieser Größen zu verkürzen, wird auf den Index „und“ verzichtet.

3.2.2. Sonderfälle der Verschiebungsermittlung

Formel (3.8) wird im allgemeinen Fall eines Flachstabsystems verwendet, kann jedoch in einigen Fällen erheblich vereinfacht werden. Betrachten wir Sonderfälle seiner Implementierung.

1. Wenn Verformungen durch Längskräfte vernachlässigt werden können, was typisch für Balkensysteme ist, wird Formel (3.8) wie folgt geschrieben

2. Wenn ein flaches System nur aus gebogenen dünnwandigen Trägern mit einem Verhältnis l/h > 5 für Konsolen oder l/h > 10 für Spannweiten besteht (I und h sind die Länge des Trägers und die Höhe des Abschnitts), Dann übersteigt die Biegeverformungsenergie in der Regel die Energie der Verformungen aus Längs- und Querkräften deutlich und kann daher bei der Berechnung der Verschiebungen nicht berücksichtigt werden. Dann nimmt die Formel (3.8) die Form an

3. Für Fachwerke, deren Stäbe bei Knotenbelastung hauptsächlich Längskräften ausgesetzt sind, können wir M = 0 und Q = 0 annehmen. Dann wird die Verschiebung des Knotens nach der Formel berechnet

Die Integration erfolgt über die Länge jedes Stabes und die Summation erfolgt über alle Stäbe. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass sich die Kraft S u im i-ten Stab und die Querschnittsfläche über seine Länge nicht ändern, können wir diesen Ausdruck vereinfachen:

Trotz der scheinbaren Einfachheit dieser Formel ist die analytische Berechnung von Verschiebungen in Fachwerken sehr arbeitsintensiv, da sie die Bestimmung der Kräfte in allen Stäben des Fachwerks aus der effektiven Last () und der an den Fachwerken wirkenden Einheitskraft () erfordert Punkt, dessen Verschiebung gefunden werden muss.

3.2.3. Methodik und Beispiele zur Bestimmung von Verschiebungen

Betrachten wir die Berechnung des Mohr-Integrals nach der Methode von A. N. Vereshchagin (1925). Das Mohr-Integral hat die Form (3.8), wobei Diagramme von Biegemomenten, Längs- oder Querkräften als D 1, D 2 auftreten können. Mindestens eines der Diagramme () im Integrandenausdruck ist linear oder stückweise linear, da es aus einer Einheitslast aufgebaut ist. Deshalb für

Das erste Integral ist numerisch gleich der Fläche des Untergraphen (schattiert in Abb. 3.6) und das zweite ist gleich dem statischen Moment dieser Fläche relativ zur Achse. Das statische Moment kann als geschrieben werden, wobei die Positionskoordinate des Schwerpunkts der Fläche (Punkt A) ist. Unter Berücksichtigung des Gesagten erhalten wir

(3.13)

Die Regel von Wereschtschagin ist wie folgt formuliert: Wenn mindestens eines der Diagramme auf einem Abschnitt linear ist, wird das Mohr-Integral als Produkt der Fläche willkürlich berechnet

Bei der Berechnung von Strukturen in der Mathcad-Umgebung ist die Verwendung der Vereshchagin-Regel nicht erforderlich, da das Integral durch numerische Integration berechnet werden kann.

Beispiel 3.1(Abb. 3.7, a). Der Balken wird mit zwei symmetrisch angeordneten Kräften belastet. Finden Sie die Verschiebung der Angriffspunkte der Kräfte.

1. Erstellen wir ein Diagramm der Biegemomente M 1 aus den Kräften F 1 . Unterstützende Reaktionen Maximales Biegemoment unter Krafteinwirkung

2. Da das System symmetrisch ist, sind die Auslenkungen unter den Kräften gleich. Als Hilfszustand nehmen wir die Belastung des Balkens mit zwei Einheitskräften F 2 = 1 N, die an den gleichen Punkten wie die Kräfte F 1 wirken

(Abb. 3.7, b). Das Diagramm der Biegemomente für diese Belastung ähnelt dem vorherigen und das maximale Biegemoment M 2max = 0,5 (L-b).

3. Die Belastung des Systems durch zwei Kräfte des zweiten Zustands ist durch eine verallgemeinerte Kraft F 2 und eine verallgemeinerte Verschiebung gekennzeichnet, die die Arbeit äußerer Kräfte auf die Verschiebung von Zustand 1 erzeugen, gleich . Berechnen wir die Verschiebung mit der Formel (3.11). Wenn wir die Diagramme mit Abschnitten gemäß der Regel von Wereschtschagin multiplizieren, finden wir

Nach dem Ersetzen von Werten wir bekommen

Beispiel 3.2. Finden Sie die horizontale Verschiebung der beweglichen Stütze des U-förmigen Rahmens, der mit der Kraft F x belastet ist (Abb. 3.8, a).

1. Erstellen wir ein Diagramm der Biegemomente aus der Kraft F 1 Stützreaktionen . Maximales Biegemoment unter Kraft F 1

2. Als Hilfszustand nehmen wir die Belastung des Balkens mit einer horizontalen Einheitskraft F 2, die am Punkt B angewendet wird (Abb. 3.8, b). Für diesen Belastungsfall erstellen wir ein Diagramm der Biegemomente. Auflagerreaktionen A 2y = B 2y = 0, A 2x = 1. Maximales Biegemoment.

3. Wir berechnen die Verschiebung nach Formel (3.11). In vertikalen Schnitten ist das Produkt Null. Im horizontalen Abschnitt ist das M 1-Diagramm nicht linear, aber das Diagramm ist linear. Wenn wir die Diagramme mit der Methode von Wereschtschagin multiplizieren, erhalten wir

Das Produkt ist negativ, da die Diagramme entlang liegen verschiedene Seiten. Der resultierende negative Verschiebungswert zeigt an, dass seine tatsächliche Richtung der Richtung der Einheitskraft entgegengesetzt ist.

Beispiel 3.3(Abb. 3.9). Ermitteln Sie den Drehwinkel des Abschnitts eines Zwei-Stützen-Trägers unter der Kraft und ermitteln Sie die Position der Kraft, bei der dieser Winkel maximal ist.

1. Erstellen wir aus der Kraft F 1 ein Diagramm der Biegemomente M 1. Dazu ermitteln wir die Stützreaktion A 1. Aus der Gleichgewichtsgleichung für das Gesamtsystem Finden wir das maximale Biegemoment unter der Kraft Fj

2. Als Hilfszustand nehmen wir die Belastung des Balkens mit einem Einheitsmoment F 2 = 1 Nm in dem Abschnitt, dessen Drehung bestimmt werden muss (Abb. 3.9, b). Für diesen Belastungsfall erstellen wir ein Diagramm der Biegemomente. Auflagerreaktionen A 2 = -B 2 = 1/L, Biegemomente

Beide Momente sind negativ, weil sie im Uhrzeigersinn gerichtet sind. Diagramme basieren auf gestreckten Fasern.

3. Wir berechnen den Drehwinkel mit der Formel (3.11), multiplizieren mit zwei Abschnitten,

Durch die Bezeichnung können wir diesen Ausdruck in einer bequemeren Form erhalten:

Die Abhängigkeit des Drehwinkels von der Position der Kraft F 1 ist in Abb. dargestellt. 3,9, c. Nachdem wir diesen Ausdruck differenziert haben, ermitteln wir aus der Bedingung die Position der Kraft, bei der der Neigungswinkel des darunter liegenden Balkens im absoluten Wert am größten ist. Dies geschieht bei Werten von 0,21 und 0,79.

Abbildung 2.4

Lösung

Ersetzen wir die verteilte Last durch eine konzentrierte Kraft Q = q∙DH. Diese Kraft wird in der Mitte des Segments ausgeübt D.H.– auf den Punkt L.

Stärke F Zerlegen wir es in Komponenten und projizieren es auf die Achse: horizontal Fxcosα und vertikal F y sinα.

Abbildung 2.5

Um ein Problem mit dem Prinzip der möglichen Verschiebungen zu lösen, ist es notwendig, dass sich die Struktur bewegen kann und gleichzeitig eine unbekannte Reaktion in der Arbeitsgleichung vorliegt. Zur Unterstützung A Die Reaktion wird in Komponenten zerlegt X A, Y A.

Zu bestimmen X AÄndern Sie das Design der Stütze A damit der Punkt A konnte sich nur horizontal bewegen. Lassen Sie uns die Verschiebung der Punkte der Struktur durch eine mögliche Drehung des Teils ausdrücken CDB um den Punkt herum B schräg δφ 1, Teil A.K.C. Die Struktur dreht sich in diesem Fall um den Punkt C V1— momentaner Drehpunkt (Abbildung 2.5) in einem Winkel δφ 2 und bewegliche Punkte L Und C- Wille

δS L = BL∙δφ 1 ;
δS C = BC∙δφ 1.

Gleichzeitig

δS C = CC V1 ∙δφ 2

δφ 2 = δφ 1 ∙BC/CC V1.

Es ist bequemer, die Arbeitsgleichung durch die Arbeit der Momente gegebener Kräfte relativ zu den Rotationszentren zu konstruieren.

Q∙BL∙δφ 1 + F x ∙BH∙δφ 1 + F y ∙ED∙δφ 1 +
+ M∙δφ 2 — X A ∙AC V1 ∙δφ 2 = 0.

Reaktion Y A macht die Arbeit nicht. Wenn wir diesen Ausdruck umwandeln, erhalten wir

Q∙(BH + DH/2)∙δφ 1 + F∙cosα∙BD∙δφ 1 +
+ F∙sinα∙DE∙δφ 1 + M∙δφ 1 ∙BC/CC V1 —
— X A ∙AC V1 ∙δφ 1 ∙BC/CC V1 = 0.

Reduziert um δφ 1, erhalten wir eine Gleichung, aus der wir leicht finden können X A.

Zu bestimmen Y A Stützstruktur AÄndern wir es so, dass beim Verschieben des Punktes A Nur Gewalt erledigte die Arbeit Y A(Abbildung 2.6). Nehmen wir die mögliche Bewegung eines Teils der Struktur als BDC Drehung um einen festen Punkt B — δφ 3.

Abbildung 2.6

Für einen Punkt C δS C = BC∙δφ 3, das momentane Rotationszentrum für einen Teil der Struktur A.K.C. Es wird einen Punkt geben C V2 und den Punkt verschieben C wird sich äußern.